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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Nadja |
Hallo
Ich habe hier ein Aufgabe mit der ich überhaupt nicht weitrkomme. Wer kann mir vielleicht helfen.
A: [mm] \IR^2\to\IR^2 [/mm] eine lineare Abblindung mit
[mm] |A|_{e1,e2}=\pmat{ \alpha & \beta\\ \beta & \gamma}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass es eindeutig bestimmte reelle Zahlen
[mm] \lambda_{1}\le\lambda_{2} [/mm] gibt so dass eine Basis B von [mm] \IR^2 [/mm] existiert mit
[mm] |A|_{B}=\pmat{ \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}}
[/mm]
Hinweis: Betrachte die Gleichung Av= [mm] \lambda{v} [/mm] mit [mm] v\in\IR. [/mm] Für welche [mm] \lambda [/mm] gibt es eine Lösung [mm] v\in\IR^2 [/mm] \ [mm] \{0\}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Gorky |
hi! (sorry aber ich kann das nicht besonders gut erklären aber beweis geht so ;) ) Hier sollst du Basis finden [mm] B\{ v_{1}, v_{2} \} [/mm] von [mm] \IR^{2} [/mm] so dass [mm] Av_{1}= \lambdav_{1} [/mm] und [mm] Av_{2}= \lambdav_{2} [/mm] gilt.
Also betrachte (v [mm] \not=0) Av=\lambdav [/mm] <=> [mm] Av-\lambdav=0 [/mm] <=> [mm] (A-\lambdaI)v=0 [/mm] (I ist einheits vektor) das heist v [mm] \in [/mm] KernB :
[mm] \pmat{ \alpha-\lambda & \beta & 0\\ \beta & \delta- \lambda & 0 \\} [/mm] > [mm] \pmat{ \alpha-\lambda & \beta & 0 \\ \beta & (\alpha-\lambda)( \delta- \lambda)- \beta^{2} & 0}
[/mm]
also [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(( \alpha+\delta) \pm \wurzel{(\alpha-\delta)^{2}+\beta^{2}}
[/mm]
1 Fall [mm] \lambda_{1} [/mm] < [mm] \lambda_{2}
[/mm]
=> dimKern (A [mm] -\lambda_{1}I) [/mm] ( [mm] v_{1} [/mm] aus Kern1) = dimKern (A [mm] -\lambda_{2}I) [/mm] ( [mm] v_{2} [/mm] aus Kern2)= 1
2 Fall [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2}
[/mm]
=> B=0 => A [mm] |A|_{e1,e2} \pmat{ \alpha & 0 \\ 0 & \delta }
[/mm]
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