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| Aufgabe | MAn untersuche, ob die folgenden Abbildungen F linear sind. Dabei ist x = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}}: [/mm]
F(x) = [mm] \vektor{x_{1}+1 \\ x_{2}-1} [/mm] |
Hallo Leute,
ich soll beweisen, dass die o.a. Aufgabe keine lineare Abbildung ist. Ich hab mal folgendes vor mich hingerechnet:
[mm] F\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+1 \\ x_{2}-1}
[/mm]
[mm] F(\vektor{x_{1} \\ x_{2}}+\vektor{y_{1} \\ y_{2}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+y_{1}+1+y_{2} \\ x_{2}+y_{2}-1-y_{2}}
[/mm]
Ab hier hab ich dann versucht auf [mm] F\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] + [mm] F\vektor{y_{1} \\ y_{2}} [/mm] dass bei mir lautet:
[mm] F\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] + [mm] F\vektor{y_{1} \\ y_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+1 \\ x_{2}-1} [/mm] + [mm] \vektor{y_{1}+y_{2} \\ y_{2}-y_{2}}
[/mm]
Ich vermute, dass das Ergebnis völlig falsch ist. Bitte daher um Hilfe. Und ... kann mir ev. jemand den Algorithmus erklären? Ich glaub, ich hab irgendwo einen Denkfehler.
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, ich
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Linearität bedeutet: Für alle x, y und a gilt: F(x+y) = F(x) + F(y) und F(ax) = a*F(x). In diesem Fall:
F(x+y) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2 - 1)
= (x1 + 1, x2 - 1) + (y1 + 1, y2 - 1) + (-1, 1)
= F(x) + F(y) + (-1, 1)
Wäre F linear, so folgte der Widerspruch: (0, 0) = (-1, 1). qed.
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