linear unabhängiges 2-Tupel < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei K ein Körper und V ein Vektorraum mit [mm] dim_{k}V \geq [/mm] 2. Zeigen Sie das es zu jedem [mm] 0\neq v\in [/mm] V ein linear unabhängiges 2-Tupel (u,w) gibt mit V=u+w |
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi erstmal,
irgendwie fehlt mir da der ansatz und ich weiss nicht wie ich das anstellen soll. wäre für jede hilfe dankbar
danke im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei K ein Körper und V ein Vektorraum mit [mm]dim_{k}V \geq[/mm]
> 2. Zeigen Sie das es zu jedem [mm]0\neq v\in[/mm] V ein linear
> unabhängiges 2-Tupel (u,w) gibt mit V=u+w
Da oben muß es v=u+w lauten !!
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> hi erstmal,
> irgendwie fehlt mir da der ansatz und ich weiss nicht wie
> ich das anstellen soll.
da v [mm] \ne [/mm] 0 ist und dim(V) [mm] \ge [/mm] 2 ist, existiert ein u [mm] \in [/mm] V mit: u,v sind linear unabhängig.
So nun orientiere Dich an dem was Du zeigen sollst:
1. wie ist nun w zu wählen ?
2. zeige: u,w sind linear unabhängig
FRED
> wäre für jede hilfe dankbar
> danke im vorraus
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hi,
w lässt sich so darstellen: w=v-u
und die lineare unabhängigkeit ist gegeben, falls die koeffizienten von u,w 0 sind. allerdings weiss ich nicht wie man das zeigen soll, da die übliche methode mit gauß verfahren und koeffizienten berechnen hier nicht funktioniert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> hi,
> w lässt sich so darstellen: w=v-u
> und die lineare unabhängigkeit ist gegeben, falls die
> koeffizienten von u,w 0 sind. allerdings weiss ich nicht
> wie man das zeigen soll, da die übliche methode mit gauß
> verfahren und koeffizienten berechnen hier nicht
> funktioniert
Zeige: aus [mm] $\alpha*u+\beta*w=0$ (\alpha, \beta \in [/mm] K) folgt: [mm] \alpha= \beta=0
[/mm]
(hierbei mußt Du natürlich verwenden, dass u,v l.u. sind)
FRED
FRED
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also es gäbe 2 möglichkeiten:
[mm] 1.\alpha\cdot{}u+\beta\cdot{}w=0 [/mm] => [mm] u=-\beta w/\alpha
[/mm]
2. $ [mm] \alpha [/mm] $ und $ [mm] \beta [/mm] $ sind 0
da aber u und v linear unabhängig sind, kann u und v nicht als linearkombination der anderen vektoren dargstellt werden.
es gilt also [mm] \alpha= \beta=0 [/mm]
ist das so richtig?
und folgt nicht aus der linearen unabhängigkeit, das v aus der linearkombination von u und w dargestellt werden kann?
also v=u+w daraus hervorgeht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mi 21.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> also es gäbe 2 möglichkeiten:
> [mm]1.\alpha\cdot{}u+\beta\cdot{}w=0[/mm] => [mm]u=-\beta w/\alpha[/mm]
> 2.
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind 0
> da aber u und v linear unabhängig sind, kann u und v nicht
> als linearkombination der anderen vektoren dargstellt
> werden.
> es gilt also [mm]\alpha= \beta=0[/mm]
> ist das so richtig?
Nein. Wir haben: [mm] \alpha\cdot{}u+\beta\cdot{}w=0
[/mm]
Wegen w:=v-u folgt: [mm] \alpha\cdot{}u+\beta\cdot{}(v-u)=0
[/mm]
Also $ [mm] (\alpha-\beta)u+\beta [/mm] v = 0$
Jetzt benutzen, dass u,v l.u. sind
> und folgt nicht aus der linearen unabhängigkeit, das v
> aus der linearkombination von u und w dargestellt werden
> kann?
> also v=u+w daraus hervorgeht?
Was soll das ? Du hast doch definiert w:=v-u
FRED
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