linear unabhängige Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 So 16.11.2008 | | Autor: | Mamisch |
| Aufgabe | Es sei V ein [mm] \IR-Vektorraum, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 und [mm] v_{1},...,v_{n} \in [/mm] V linear unabhängige Vektoren. Zeigen Sie, dass dann auch [mm] w_{1},...,w_{n} [/mm] mit
[mm] w_{i}:=(\summe_{j=1}^{n} v_{j}) [/mm] - [mm] v_{i} [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,...,n}
linear unabhängig sind.
Bleibt diese Aussage richtig, wenn man den Körper [mm] \IR [/mm] durch [mm] \IZ/2\IZ [/mm] ersetzt? |
Im ersten Teil soll ich ja zeigen dass die Summe über alle linear unabhängigen Vektoren abzüglich einer dieser Vektoren auch wieder linear unabhängig ist.
Es darf dann in der Menge w1 bis wn keine 2 neuen Vektoren geben die linear abhängig sind. Welchen Ansatz kann ich da wählen?
Bei der Frage zur Restringklasse modolu 2 stehe ich auch auf dem Schlauch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei V ein [mm]\IR-Vektorraum,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2 und [mm]v_{1},...,v_{n} \in[/mm]
> V linear unabhängige Vektoren. Zeigen Sie, dass dann auch
> [mm]w_{1},...,w_{n}[/mm] mit
>
> [mm]w_{i}:=(\summe_{j=1}^{n} v_{j})[/mm] - [mm]v_{i}[/mm] für i [mm]\in[/mm]
> {1,...,n}
>
> linear unabhängig sind.
>
> Bleibt diese Aussage richtig, wenn man den Körper [mm]\IR[/mm] durch
> [mm]\IZ/2\IZ[/mm] ersetzt?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
In Teil 1. hast Du n Vektoren [mm] w_1, [/mm] ..., [mm] w_n, [/mm] die in der angegebenen Art aus den [mm] v_i [/mm] hervorgegangen sind.
Wenn Du sie auf lineare Unabhängigkeit prüfen willst, ist das zu tun, was in diesen Fällen immer zu tun ist:
Du mußt herausfinden, ob nur die triviale Linearkombination dieser Vektoren den Nullvektor ergibt.
Also ist
[mm] \lambda_1w_1+\lambda_2w_2+...+\lambda_nw_n=0 [/mm]
nach den [mm] \lambda_i [/mm] aufzulösen.
Setze die def. die [mm] w_i [/mm] ein, und sortieren anschließend so, daß Du
[mm] (...)v_1+(...)v_2+...+(...)v_n=0 [/mm] dastehen hast.
Berücksichtige nun die Lineare Unabhängigkeit der [mm] v_i.
[/mm]
Dies liefert Dir ein Gleichungssystem.
Für Teil 2) ist das System dann modulo 2 zu lösen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:41 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Chrischina |
Hey Angela..
ich kann den Ansatz nachvollziehen, den du geschrieben hast, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das nachher auflösen soll bzw. wie du auf das Gleichungssystem kommst, was lösbar ist.. Wäre nett, wenn du das noch weiter erläutern könntest ^^
Lg.. die Christina
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Hallo,
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Schreib'mal auf, so weit, wie Du gekommen bist.
Dann können wir gucken, wie's weitergeht.
Gruß v. Angela
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hey!!
also.. ich hab nach der definition erstmal aufgestellt, dass:
[mm] w_{1}=\gamma(v_{1}+....+v_{n})-v_{1}
[/mm]
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[mm] w_{n}=\gamma(v_{1}+....+v_{n})-v_{n}
[/mm]
da w auch linear unabhängig sein muss hab ich nun das ganze umgewandelt in:
[mm] \delta_{1}*w_{1}+.....+\delta_{n}*w_{n}=0
[/mm]
dann hab ich die obere definition eingesetzt:
[mm] \delta_{1}*((\gamma(v_{1}+....+v_{n})-v_{1})+.....+\delta_{n}*((\gamma(v_{n}+....+v_{n})-v_{n})=0
[/mm]
so.. und jetzt kommt das problem, dass ich nicht weiß, wie ich weiter machen kann.. bzw.. ist mein ansatz überhaupt richtig??
grüße!!
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> hey!!
> also.. ich hab nach der definition erstmal aufgestellt,
> dass:
Hallo,
Du hattest so komische [mm] \gamma [/mm] drin, die hab' ich mal weggemacht.
>
> [mm]w_{1}=(v_{1}+....+v_{n})-v_{1}[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]w_{n}=(v_{1}+....+v_{n})-v_{n}[/mm]
Genau.
>
> da w auch linear unabhängig sein muss hab ich nun das ganze
> umgewandelt in:
>
> [mm]\delta_{1}*w_{1}+.....+\delta_{n}*w_{n}=0[/mm]
Aha. Du hast eine Linearkombination der [mm] w_i [/mm] aufgestellt, welche 0 ergibt und willst nun die Koeffizienten [mm] \delta_i [/mm] ausrechnen, um zu erfahren, ob die [mm] w_i [/mm] unabhängig sind.
>
> dann hab ich die obere definition eingesetzt:
>
> [mm]\delta_{1}*(((v_{1}+....+v_{n})-v_{1})+.....+\delta_{n}*(((v_{n}+....+v_{n})-v_{n})=0[/mm]
So, und nun müssen wir sortieren.
Der vektor [mm] v_1 [/mm] kommt hinter dem [mm] \delta_1 [/mm] nicht vor, sonst überall.
Der vektor [mm] v_2 [/mm] kommt hinter dem [mm] \delta_2 [/mm] nicht vor, sonst überall.
[mm] \vdots
[/mm]
Der vektor [mm] v_n [/mm] kommt hinter dem [mm] \delta_n [/mm] nicht vor, sonst überall.
Also hast Du
[mm] (0*\delta_1 [/mm] + [mm] \delta_2+\delta_3+...+\delta_n)v_1 [/mm] + [mm] (\delta_1+0*\delta_2 +\delta_3+...+\delta_n)v_2 [/mm] + [mm] (\delta_1+\delta_2 +0*\delta_3+\delta_4+...+\delta_n)v_3 [/mm] + ... [mm] +(\delta_1 [/mm] + [mm] \delta_2+\delta_3+...+0*\delta_{n-1} +\delta_n)v_{n-1} [/mm] + [mm] (\delta_1 [/mm] + [mm] \delta_2+\delta_3+...+\delta_{n-1} +\delta_n)v_{n}=0
[/mm]
Nun hast Du hier eine Linearkombination der [mm] v_i [/mm] stehen. Die [mm] v_i [/mm] sind n.V. unabhängig.
Das bedeutet, daß die Koeffizienten allesamt =0 sind.
Hieraus erhältst Du dann ein Gleichungssystem mit n Gleichungen und den n Unbekannten [mm] \delta_i, [/mm] welches zu lösen ist.
Gruß v. Angela
P.S.: Wenn#s Dir etwas unübersichtlich vorkommt, löse das erstmal für n=4. Meist blickt man danach besser durch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Chrischina |
hey!!
vielen dank nochmal.. endlich hab ichs verstanden..
schönen abend noch!!
grüße.. die Christina
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