linear (un)abhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 So 08.05.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo meine Aufgabe heisst entscheiden sie ob die folgenden Vektoren aus [mm] K^5 [/mm] linear unabhängig sind
(3,3,0,1,1),(-1,-1,-1,0,-1),(-1,-1,-1,-1,-2),(4,1,0,1,1)
a) K=R
also ich hab es so gemacht
[mm] \begin{pmatrix}
3 & -1 & -1 & 4 \\
3 & -1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -1 & 1\\
1 & -1 & -2 & 1
\end{pmatrix} [/mm] erste Frage muss ich noch was hinzufügen da ja nur 4 Spalten aber 5 Zeilen??? bevor ich die matrix in Zeilenstufenform bringen kann
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hallo susi
also eigentlich brauchst du nichts mehr anzufügen und kannst die matrix direkt auf zeilenstufenform bringen wenn du dich aber wohler fühlst kannst du eine nullspalte hinten anfügen weil du ja eigentlich testen willst ob die gleichung a*x+b*y+c*z+d*w=0
für a ,b, c , d eine nichttriviale Lösung besitzt
(wobei x,y,z,w deine vier Vektoren sind und 0 der Nullvektor aus dem [mm] \IR^{5} [/mm] und a,b,c,d [mm] \in \IR)
[/mm]
falls noch fragen sind frag nach.
mr coffee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 10.05.2005 | | Autor: | mausi |
oki da hab ich rausbekommen das es linear unabhängig ist
b) is [mm] K=Z_5
[/mm]
wie mache ich das???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Mausi!
In [mm] $\IZ_5$ [/mm] machst du es genauso. Du musst nur beachten, dass dort $5=0$ gilt und du daher nicht mit Vielfachen von $5$ multiplizieren oder durch Vielfache von $5$ teilen darfst. Rechne immer modulo $5$, d.h. sobald z.B. $12$ oder $7$ rauskommt, schreibst du eine $2$ hin, etc.
In [mm] $\IZ_5$ [/mm] sieht die Matrix wie folgt aus:
[mm] $\pmat{3 & 4 & 4 & 4 \\ 3 & 4 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & 3 & 1}$.
[/mm]
Man erhält durch elementare Zeilenumformungen:
[mm] $\pmat{3 & 4 & 4 & 4\\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$,
[/mm]
d.h. auch hier ist der Rang der Matrix gleich $4$ (falls ich mich nicht verrechnet habe  ) und daher die vier Ausgangsvektoren linear unabhängig.
Viele Grüße
Julius
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