linear/nicht linear,Bild/Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten abend. Ich wollte euch mal was fragen:
und zwar habe ich ein Problem mit der Defintion zu linear oder nicht linear. Und ich habe ein Problem mit der Definition zum Bild und Kern. Kann man diese Eigenschaften irgendwie ganz einfach definieren? Wie kann man sich das bei Bild und Kern bildlich vorstellen? probiere mich stöndig mit der Defintion. Aber irgendwie versteh ich die nicht. Jetzt wollte ich mal fragen, ob man das irgendwie bildlich erklären kann?????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit freundlichen Grüßen Domenigge
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> und zwar habe ich ein Problem mit der Defintion zu linear
> oder nicht linear. Und ich habe ein Problem mit der
> Definition zum Bild und Kern. Kann man diese Eigenschaften
> irgendwie ganz einfach definieren? Wie kann man sich das
> bei Bild und Kern bildlich vorstellen? probiere mich
> stöndig mit der Defintion. Aber irgendwie versteh ich die
> nicht. Jetzt wollte ich mal fragen, ob man das irgendwie
> bildlich erklären kann?????
Hallo,
falls Du Mathematik studierst und sei es im Nebenfach, wirst Du akzeptieren müssen, daß die Zeiten, zu denen man sich alles bildlich vorstellen konnte, vorbei sind.
Für manches gibt es "bildliche" Beispiele, es ist auch gut, solche zu kennen, aber sie können immer nur die Definitionen und Sätze illustrieren, nicht jedoch ersetzen.
Schreib doch zunächst mal die Definitionen zu "linear", Bild, Kern auf.
Danach sag, an welcher Stelle genau Du ein Verständnisproblem mit diesen Definitionen hast.
Gruß v. Angela
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1. Eine Abbildung L von [mm] K^n [/mm] nach [mm] K^m [/mm] heißt lineare Abbildung, für alle [mm] \vec{u},\vec{v} \in K^n, \alpha \in [/mm] K gilt: [mm] L(\vec{u}+\vec{v})=L(\vec{u}+L\vec{v}
[/mm]
[mm] L(\alpha \vec{v})=\alpha L(\vec{v})
[/mm]
So sieht die defintion zur linearität aus. Für mich ist ersteres alledings nichts anderes wie das Distributivgesetz und zweiteres das Assoziativgesetz. Das heißt beide müssen gelten, damit linear. Bildlich kann man sich das meiner Meinung nach schwer vostellen.
2. Seien V,W Vektorräume über K und L eine lineare Abbildung von V nach W.
Bild: Das Bild von L ist {L [mm] \vec(v)| \vec(v) \in [/mm] V} [mm] \subset [/mm] W
Kern: Der Kern von L ist [mm] {\vec(v)| \vec(v) \in V, L \vec(v) = \vec(0)} \subset [/mm]
Hier habe ich irgendwie komplett ein Problem.
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> 1. Eine Abbildung L von [mm]K^n[/mm] nach [mm]K^m[/mm] heißt lineare
> Abbildung, für alle [mm]\vec{u},\vec{v} \in K^n, \alpha \in[/mm] K
> gilt: [mm]L(\vec{u}+\vec{v})=L(\vec{u}+L\vec{v}[/mm]
> [mm]L(\alpha \vec{v})=\alpha L(\vec{v})[/mm]
> So sieht die
> defintion zur linearität aus. Für mich ist ersteres
> alledings nichts anderes wie das Distributivgesetz und
> zweiteres das Assoziativgesetz.
Hallo,
es keimt in mir der Verdacht, daß Du gar nicht weißt, was L ist.
Das ist ja nicht irgendeine Zahl, sondern eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen.
Ich will Dir zeigen, daß die Linearität nicht selbstverständlich ist:
Nehmen wir als Körper K die reellen Zahlen, also [mm] K=\IR [/mm] und n=m=2.
Nun betrachten wir die Abbildung
[mm] f:\IR^2 \to \IR^2
[/mm]
[mm] f\vektor{x \\ y}:=\vektor{2x \\ 3y}+\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Diese Abbildung f ist nicht linear:
Seien [mm] \vektor{x_1 \\ y_1}, \vektor{x_2 \\ y_2} \in \IR.
[/mm]
Es ist
[mm] f(\vektor{x_1 \\ y_1}+ \vektor{x_2 \\ y_2})=f\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2}=\vektor{2(x_1+x_2) \\ 3(y_1+y_2)}+\vektor{1 \\ 0},
[/mm]
hingegen ist
[mm] f\vektor{x_1 \\ y_1}+ f\vektor{x_2 \\ y_2}=\vektor{2x_1 \\ 3y_1}+\vektor{1 \\ 0}+\vektor{2x_2 \\ 3y_2}+\vektor{1 \\ 0}=\vektor{2(x_1+x_2) \\ 3(y_1+y_2)}+\vektor{2 \\ 0},
[/mm]
also ist die erste bedingung für Linearität nicht erfüllt.
Ob die zweite erfüllt ist, kannst Du selber prüfen.
Ein Beispiel für eine lineare Abbildung wäre
[mm] g:\IR^2 \to \IR^2
[/mm]
[mm] g\vektor{x \\ y}:=\vektor{2x \\ 3y}.
[/mm]
Von der Linearität solltest Du Dich jetzt selber überzeugen können.
Linearität ist also eine Eigenschaft gewisser Funktionen.
> 2. Seien V,W Vektorräume über K und L eine lineare
> Abbildung von V nach W.
> Bild: Das Bild von L ist {L [mm] \vec(v)| \vec(v) \in [/mm] V}
> [mm]\subset[/mm] W
Da Bild der Abbildung L ist die Menge der Elemente v. W, welche durch die Abbildung L "erwischt" werden, die Elemente aus W, auf welche ein Element aus V abgebildet wird.
Genau das erzählt Dir Deine Definition.
> Kern: Der Kern von L ist [mm]{\vec(v)| \vec(v) \in V, L \vec(v) = \vec(0)} \subset[/mm] V
> Hier habe ich irgendwie komplett ein Problem.
Kern v. L heißt die Menge, die aus allen Elementen besteht, welche durch L auf die Null im Vektorraum W abgebildet werden.
Gruß v. Angela
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Achso... Okay das ergibt dann Sinn.  Dankeschön für den Hinweis. Habs an dem Beispiel gut verstanden.
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Noch ein Beispiel für den Kern:
[mm] L(\vektor{x \\ y})=\vektor{x \\ 0} [/mm] ist eine Lineare Abbildung, wie du nun leicht zeigen kannst. Für alle Vektoren
[mm] \vektor{0 \\ y} [/mm] gilt nun: [mm] L(\vektor{0 \\ y})=\vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
Die Menge der Vektoren [mm] \vektor{0 \\ y} [/mm] bilden hier den Kern der Abbildung. Beachte auch, dass diese Untermenge in V, i.a. nicht in W liegt, wenn L von V nach W geht!
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