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| Aufgabe | Seien V Vektorraum über K, W1,W2 [mm] \supset [/mm] V Unterram und
[mm] f:W_1 \times W_2 \rightarrow [/mm] V; (w1+w2).
Beweisen sie:
1.f ist linear
2.f injektiv [mm] \gdw [/mm] W1 [mm] \cap [/mm] W2={0}
3.f surjektiv [mm] \gdw W_1+W_2=V;
[/mm]
4.f Isomorphismus [mm] \gdw V=W_1 \oplus W_2 [/mm] |
1. linearität klar ausser ich soll nicht
[mm] \varphi ,\gamma \in [/mm] K
x,y [mm] \in [/mm] V
f( [mm] \varphi*x+ \gamma [/mm] *y)= [mm] \varphi [/mm] * f(x)+ [mm] \gamma [/mm] * f(y) zeigen
2.f injektiv [mm] \Rightarrow W_1 \cap W_2={0}
[/mm]
dann heisst das doch nichts anderes also das die beiden mengen [mm] W_1 [/mm] , [mm] W_2 [/mm] disjunkt sein müssen da sonnst die injektivitä nicht mehr für f gegeben ist gelten:
beweis injektivität w1,w3 [mm] \in W_1, [/mm] w2,w4 [mm] \in W_2 [/mm] paar (w1,w2) und paar (w3,w4)
und dann zeigen das wenn f(w1,w2)=f(w3,w4) [mm] \Rightarrow [/mm] w1=w3 und w2=w4.
zu 3.
weiss nicht genau wie ich das schreiben kann, da aus der
surjektivität [mm] \Rightarrow f:W_1 \times W_2 \rightarrow [/mm] V das [mm] f(W_1 \times W_2)=V
[/mm]
zu 4: ich denk das lässt sich gut zeigen wenn die 2 und 3 gezeigt wurden
hab die frage in keinem anderen forum gepostet
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> Seien V Vektorraum über K, W1,W2 [mm]\supset[/mm] V Unterram
Hallo,
soll das nicht vielleicht genau andersrum sein, daß die [mm] W_i [/mm] Unterräume v. V sind???
> und
> [mm]f:W_1 \times W_2 \rightarrow[/mm] V; (w1+w2).
Kapier ich nicht. Was soll das [mm] (w_1+w_2) [/mm] bedeuten?
Wenn ich meine Aufgaben so aufschreiben würde wie Du, könnte ich sie wahrscheinlich auch nicht lösen - ein bißchen Sorgfalt wäre hier schon angebracht.
Die Aufgabe lautet also sehr wahrscheinlich so:
Sei V Vektorraum über K, W1,W2 [mm]\subseteq[/mm] V Unterräume,
und
[mm] f:W_1 \times W_2 \rightarrow[/mm] [/mm] V
mit
[mm] (w_1, w_2)\mapsto w_1+w_2 [/mm]
> Beweisen sie:
>
> 1.f ist linear
> 2.f injektiv [mm]\gdw[/mm] W1 [mm]\cap[/mm] W2={0}
> 3.f surjektiv [mm]\gdw W_1+W_2=V;[/mm]
> 4.f Isomorphismus [mm]\gdw V=W_1 \oplus W_2[/mm]
>
> 2.f injektiv [mm]\Rightarrow W_1 \cap W_2={0}[/mm]
> dann heisst
> das doch nichts anderes also das die beiden mengen [mm]W_1[/mm] ,
> [mm]W_2[/mm] disjunkt sein müssen
Sie können nicht disjunkt sein! Es sind doch beides Unterräume v. V, also liegt mindestens dioe Null im Schnitt, und daß unter den gegebenen Voraussetzungen kein weiteres Element im Schnitt liegt, ist das, was bei der Hin-Richtung zu zeigen ist.
> da sonnst die injektivitä nicht
> mehr für f gegeben ist gelten:
Ich kann den Satz nicht verstehen.
>
> beweis injektivität w1,w3 [mm]\in W_1,[/mm] w2,w4 [mm]\in W_2[/mm] paar
> (w1,w2) und paar (w3,w4)
>
> und dann zeigen das wenn f(w1,w2)=f(w3,w4) [mm]\Rightarrow[/mm]
> w1=w3 und w2=w4.
Du scheinst hier Deine Beweisidee vorzustellen.
Es ist immer gut, zunächst die zu zeigende Behauptung zu notieren.
Welche Richtung willst Du zeigen? Anscheinend die Rückrichtung, also
[mm] W_1 \cap W_2={0} [/mm] ==> f ist injektiv.
Bei Injektivität im Zusammenhang mit Homomorphismen ist normalerweise günstig, den Zusammenhang zw. Injektivität und Kern der Abbildung zu verwenden.
>
> zu 3.
>
> weiss nicht genau wie ich das schreiben kann, da aus der
> surjektivität [mm]\Rightarrow f:W_1 \times W_2 \rightarrow[/mm] V
> das [mm]f(W_1 \times W_2)=V[/mm]
Du willst die Surjektivität anders schreiben?
Für alle [mm] v\in [/mm] V findet man [mm] w_i\in W_i [/mm] mit [mm] f(w_1, w_2)=v.
[/mm]
Bei Vektorräumen sind ja auch Dimensionsüberlegungen oft nützlich, also hier: f surjektiv <==>dimBildf=dim V.
Vielleicht brauchst Du es ja.
Auch bei 3. sind wieder beide Richtungen zu zeigen.
Gruß v. Angela
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