linear abhängig bzw unabhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Do 23.11.2006 | | Autor: | Warlock |
| Aufgabe | | Sind die Vektoren a [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] b [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] und c [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] linear unabhängig? |
So das ist eigentlich alles komplett klar für mich, ich weiß sogar die Antwort zu dieser Frage nur habe ich folgendes Problem:
1) Ich kann hier die Determinante berechnen und somit sagen ob diese Vektoren linear abhängig bzw unabhängig sind. ICh habe mit der Regel von Saurrus rausgefunden, dass die Determinante regulär ist und die Vektoren somit linear unabhängig sind.
Ich weiß auch noch andere Möglichkeiten das nachzuweisen, aber es gibt eine Grundmöglichkeit die ich nicht kann.
[mm] \lambda_{1} [/mm] a + [mm] \lambda_{2} [/mm] b + [mm] \lambda_{3} [/mm] c = 0
Ich weiß, dass für alle [mm] \lambda [/mm] = 0 sein muss, aber weiß nicht wie ich auf das komme.
mfg Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Do 23.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Warlock!
> Sind die Vektoren a [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] b [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> und c [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] linear unabhängig?
> So das ist eigentlich alles komplett klar für mich, ich
> weiß sogar die Antwort zu dieser Frage nur habe ich
> folgendes Problem:
>
> Ich weiß auch noch andere Möglichkeiten das nachzuweisen,
> aber es gibt eine Grundmöglichkeit die ich nicht kann.
>
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] a + [mm]\lambda_{2}[/mm] b + [mm]\lambda_{3}[/mm] c = 0
>
> Ich weiß, dass für alle [mm]\lambda[/mm] = 0 sein muss, aber weiß
> nicht wie ich auf das komme.
>
Stelle dir dazu einfach ein LGS auf :
[mm] $\lambda_1+0*\lambda_2+\lambda_3=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_1+\lambda_2+0*\lambda_3=0$
[/mm]
[mm] $0*\lambda+\lambda_2+\lambda_3=0$
[/mm]
Und dann mit Gaußalgorithmus lösen - wenn dann als Lösung [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ [/mm] herauskommt sind die Vektoren linear unabhängig
MfG
Sashman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Do 23.11.2006 | | Autor: | Warlock |
Hy
Danke für deine Antwort
Soweit war ich auch schon , aber das muss man doch ohne den Gauß Algoritmus lösen können, denn haben wir noch gar nichts gelernt *g*.
Kann man lineare Gleichungssystem nicht anders lösen?
mfg Chris
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Hallo.
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] 0*\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] 0*\lambda_3 [/mm] = 0
[mm] 0*\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
jetzt stelle die erste Gleichung nach [mm] \lambda_1 [/mm] um
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] -\lambda_3
[/mm]
setze das in die 2. Gleichung ein
[mm] -\lambda_3 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3
[/mm]
aber aus der 3. Gleichung ergibt sich
[mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] =0
also [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] -\lambda_3
[/mm]
dies ist nur der Fall, wenn [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] =0
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] -\lambda_3 [/mm] = 0
also sind alle gleich null --> linear unabhängig.
Tschüß und alles Gute sagt Röby
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