lin. Ähnlichk. als Verkettung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Da wir den Beweis zu folgenden Satz in der Vorlesung ausgelassen haben, wollte ich mich mal selber dran versuchen:
Zu jeder linearen Ähnlichkeit [mm] $\rho$ [/mm] mit Ähnlichkeitsfaktor [mm] $\mu$ [/mm] existiert ein [mm] $\omega\inO(v)$ [/mm] und eine lineare Abbildung [mm] $h_\mu$ [/mm] mit [mm] $h_\mu(v)=\mu\cdot [/mm] v$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$, so dass [mm] $\rho=h_{\mu}\circ\omega$ [/mm] ist.
$O(V)$ ist die Gruppe der orthogonalen Abbildungen [mm] $\omega:V\to [/mm] V'$ mit der Eigenschaft [mm] $||\omega(v)||=1 \cdot [/mm] ||v||$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$. Also nichts anderes als eine lineare Ähnlichkeit mit Ähnlichkeitsfaktor [mm] $\mu=1$. [/mm] |
Sei [mm] $\rho:V\to [/mm] V'$ eine lineare Ähnlichkeit
[mm] $\Rightarrow ||\rho(v)||=\mu\cdot||v||\,\,\forall v\in [/mm] V$
Sei [mm] $\omega\in [/mm] O(V)$ und [mm] $h_\mu$ [/mm] eine lineare Abbildung mit [mm] $h_\mu(v)=\mu\cdot [/mm] v$,
dann gilt:
[mm] $h_{\mu}\circ \omega(v) [/mm] = [mm] h_\mu (\omega(v)) [/mm] = [mm] h_\mu [/mm] (||v||) = [mm] \mu\cdot [/mm] ||v|| = [mm] ||\rho(v)||$.
[/mm]
Edit: Moment ich sehe grade, dass es ja garnicht das ist was ich beweisen wollte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Di 08.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Da wir den Beweis zu folgenden Satz in der Vorlesung
> ausgelassen haben, wollte ich mich mal selber dran
> versuchen:
>
> Zu jeder linearen Ähnlichkeit [mm]\rho[/mm] mit Ähnlichkeitsfaktor
> [mm]\mu[/mm] existiert ein [mm]\omega\inO(v)[/mm] und eine lineare Abbildung
> [mm]h_\mu[/mm] mit [mm]h_\mu(v)=\mu\cdot v[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm], so dass
> [mm]\rho=h_{\mu}\circ\omega[/mm] ist.
>
> [mm]O(V)[/mm] ist die Gruppe der orthogonalen Abbildungen
> [mm]\omega:V\to V'[/mm] mit der Eigenschaft [mm]||\omega(v)||=1 \cdot ||v||[/mm]
> für alle [mm]v\in V[/mm]. Also nichts anderes als eine lineare
> Ähnlichkeit mit Ähnlichkeitsfaktor [mm]\mu=1[/mm].
>
> Sei [mm]\rho:V\to V'[/mm] eine lineare Ähnlichkeit
>
> [mm]\Rightarrow ||\rho(v)||=\mu\cdot||v||\,\,\forall v\in V[/mm]
>
> Sei [mm]\omega\in O(V)[/mm] und [mm]h_\mu[/mm] eine lineare Abbildung mit
> [mm]h_\mu(v)=\mu\cdot v[/mm],
>
> dann gilt:
>
> [mm]h_{\mu}\circ \omega(v) = h_\mu (\omega(v)) = h_\mu (||v||) = \mu\cdot ||v|| = ||\rho(v)||[/mm].
>
>
> Edit: Moment ich sehe grade, dass es ja garnicht das ist
> was ich beweisen wollte.
>
Ich versuche mal, meine hellseherischen Fähigkeiten ins Spiel zu bringen:
1. ich vermute, V und V' sind Vektorräume mit Skalarprodukt und ||*|| sind jeweils die von den Skalarprodukten induzierten Normen.
2. gegeben ist eine lineare Abbildung $ [mm] \rho:V\to [/mm] V'$ mit
$ [mm] ||\rho(v)||=\mu\cdot||v||\,\,\forall v\in [/mm] V $.
3. zeigen sollst Du: es ex. ein [mm] $\omega \in [/mm] O(V)$ mit
(*) [mm] $\rho=\mu* \omega$.
[/mm]
( (*) ist nichts anderes als die bekloppte Schreibweise $ [mm] \rho=h_{\mu}\circ\omega [/mm] $, denn [mm] h_{\mu} [/mm] ist nichts anderes als [mm] \mu*id_V, [/mm] derjenige, der das so geschrieben hat, gehört gesteinigt ....).
Setzt man [mm] $f:=\bruch{1}{\mu}*\rho$, [/mm] so ist $f$ eine lineare Isometrie, also
[mm] $f\in [/mm] O(V)$,
und fertig ist der Schuh.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Di 08.12.2015 | | Autor: | Raspery21 |
> > Da wir den Beweis zu folgenden Satz in der Vorlesung
> > ausgelassen haben, wollte ich mich mal selber dran
> > versuchen:
> >
> > Zu jeder linearen Ähnlichkeit [mm]\rho[/mm] mit Ähnlichkeitsfaktor
> > [mm]\mu[/mm] existiert ein [mm]\omega\inO(v)[/mm] und eine lineare Abbildung
> > [mm]h_\mu[/mm] mit [mm]h_\mu(v)=\mu\cdot v[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm], so dass
> > [mm]\rho=h_{\mu}\circ\omega[/mm] ist.
> >
> > [mm]O(V)[/mm] ist die Gruppe der orthogonalen Abbildungen
> > [mm]\omega:V\to V'[/mm] mit der Eigenschaft [mm]||\omega(v)||=1 \cdot ||v||[/mm]
> > für alle [mm]v\in V[/mm]. Also nichts anderes als eine lineare
> > Ähnlichkeit mit Ähnlichkeitsfaktor [mm]\mu=1[/mm].
> >
> > Sei [mm]\rho:V\to V'[/mm] eine lineare Ähnlichkeit
> >
> > [mm]\Rightarrow ||\rho(v)||=\mu\cdot||v||\,\,\forall v\in V[/mm]
>
> >
> > Sei [mm]\omega\in O(V)[/mm] und [mm]h_\mu[/mm] eine lineare Abbildung mit
> > [mm]h_\mu(v)=\mu\cdot v[/mm],
> >
> > dann gilt:
> >
> > [mm]h_{\mu}\circ \omega(v) = h_\mu (\omega(v)) = h_\mu (||v||) = \mu\cdot ||v|| = ||\rho(v)||[/mm].
>
> >
> >
> > Edit: Moment ich sehe grade, dass es ja garnicht das ist
> > was ich beweisen wollte.
> >
>
>
> Ich versuche mal, meine hellseherischen Fähigkeiten ins
> Spiel zu bringen:
>
> 1. ich vermute, V und V' sind Vektorräume mit
> Skalarprodukt und ||*|| sind jeweils die von den
> Skalarprodukten induzierten Normen.
>
> 2. gegeben ist eine lineare Abbildung [mm]\rho:V\to V'[/mm] mit
>
>
> [mm]||\rho(v)||=\mu\cdot||v||\,\,\forall v\in V [/mm].
>
> 3. zeigen sollst Du: es ex. ein [mm]\omega \in O(V)[/mm] mit
>
> (*) [mm]\rho=\mu* \omega[/mm].
>
> ( (*) ist nichts anderes als die bekloppte Schreibweise
> [mm]\rho=h_{\mu}\circ\omega [/mm], denn [mm]h_{\mu}[/mm] ist nichts anderes
> als [mm]\mu*id_V,[/mm] derjenige, der das so geschrieben hat,
> gehört gesteinigt ....).
Mh ja das stimmt natürlich, aber steinigen will ich meinen Dozenten lieber nicht.... :D
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> Setzt man [mm]f:=\bruch{1}{\mu}*\rho[/mm], so ist [mm]f[/mm] eine lineare
> Isometrie, also
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> [mm]f\in O(V)[/mm],
>
> und fertig ist der Schuh.
>
> FRED
Hi vielen dank Fred, ja genauso war das gemeint.
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