lin. abbildungen bsp < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgenden zwei beispielen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
zu21:
muss man das mit dem ansatz: f(x+y)=f(x)+f(y) und [mm] f(\lambdax)=\lambdaf(x) [/mm] ?
hab da leider nicht viel plan =(
zu22:
mhm weiß da nicht was so richtig gemeint ist, ist hier die verküpfung von g gesucht?
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Dagobert,
> hallo!
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> hätte ne frage zu folgenden zwei beispielen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> zu21:
> muss man das mit dem ansatz: f(x+y)=f(x)+f(y) und
> [mm]f(\lambda x)=\lambda f(x)[/mm] ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> hab da leider nicht viel plan =(
Wieso nicht?  Du hast doch richtig aufgeschrieben, was du zeigen musst.
Nimm dir also [mm] $x,y\in\IR^4$ [/mm] her, sagen wir [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}, y=\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}$
[/mm]
Dann ist [mm] $f(x+y)=f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}\right)=f\left(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3\\x_4+y_4}\right)=....$
[/mm]
Dieses Bild berechne mal und schaue, ob du es umformen kannst zu $...=f(x)+f(y)$
Dann nimm dir ein [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] her und berechne [mm] $f(\lambda\cdot{}x)=f\left(\lambda\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\right)=f\left(\vektor{\lambda\cdot{}x_1\\\lambda\cdot{}x_2\\\lambda\cdot{}x_3\\\lambda\cdot{}x_4}\right)=...$
[/mm]
Berechne das mittles der gegebenen Abbildungsvorschrift und versuche, es umzuformen zu [mm] $...=\lambda\cdot{}f(x)$
[/mm]
>
> zu22:
> mhm weiß da nicht was so richtig gemeint ist, ist hier die
> verküpfung von g gesucht?
Ja, hier ist die Abbildungsvorschrift für $g$ gesucht, also [mm] $g(\vektor{x\\y})=....$
[/mm]
Finde mit den beiden gegebenen Bildern von [mm] $\vektor{3\\2}$ [/mm] und [mm] $\vektor{2\\4}$ [/mm] heraus, worauf [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] abgebildet werden.
Dann bedenke, dass gilt: [mm] $g(\vektor{x\\y})=g(\vektor{x\\0}+\vektor{0\\y})=g(x\cdot{}\vektor{1\\0}+y\cdot{}\vektor{0\\1})=x\cdot{}g(\vektor{1\\0})+y\cdot{}g(\vektor{0\\1})$ [/mm] denn g ist ja eine lineare Abbildung
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> danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
zu21:
wenn ich das habe:
[mm] f(x+y)=f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}\right)=f\left(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3\\x_4+y_4}\right)=.... [/mm]
nur was setze ich dann weiter ein? weil habe ja oben nur x_-5x_ und 4x_-3x_ gegeben??
zu22:
nur wie bilde ich [mm] g(\vektor{x\\y}) [/mm] ..kenn mich da leider nicht so richtig aus :(
danke!
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Hallo nochmal,
> hallo!
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> zu21:
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> wenn ich das habe:
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> [mm]f(x+y)=f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}\right)=f\left(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3\\x_4+y_4}\right)=....[/mm]
>
> nur was setze ich dann weiter ein? weil habe ja oben nur
> [mm] x_{\red{3}}-5x_{\red{4}} [/mm] und [mm] 4x_{\red{2}}-3x_{\red{1}} [/mm] gegeben??
Vllt. hilft's, wenn du [mm] $x+y=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3\\x_4+y_4}$ [/mm] umbenennst in [mm] $z=\vektor{z_1\\z_2\\z_3\\z_4}$
[/mm]
Worauf wird dann z abgebildet, was ist $f(z)$ ??
Benutze einfach die Abbildungsvorschrift, einfach einsetzen.
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> zu22:
>
> nur wie bilde ich [mm]g(\vektor{x\\y})[/mm] ..kenn mich da leider
> nicht so richtig aus :(
Hast du probiert, was ich vorgeschlagen habe?
Du musst die Linearität von g ausnutzen.
Es ist doch nach Aufgabenstellung
[mm] $g(\vektor{3\\2})=12$ [/mm] und [mm] $g(\vektor{2\\4})=4$
[/mm]
Nun hast du den Tipp bekommen, dass du [mm] $\vektor{3\\2}$ [/mm] schreiben kannst als [mm] $3\cdot{}\vektor{1\\0}+2\cdot{}\vektor{0\\1}$
[/mm]
Also [mm] $g(\vektor{3\\2})=g(3\cdot{}\vektor{1\\0}+2\cdot{}\vektor{0\\1})=g(3\cdot{}\vektor{1\\0})+g(2\cdot{}\vektor{0\\1})=3\cdot{}g(\vektor{1\\0})+2\cdot{}g(\vektor{0\\1})=12$
[/mm]
eben genau wegen der Linearität von g
Dasselbe mache mit [mm] $g(\vektor{2\\4}=...=4$
[/mm]
Daraus kannst du die Bilder von [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\1}$, [/mm] also [mm] $g(\vektor{1\\0})$ [/mm] und [mm] $g(\vektor{0\\1})$ [/mm] berechnen.
Du erhältst ja sozusagen ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten [mm] $g(\vektor{1\\0})$ [/mm] und [mm] $g(\vektor{0\\1})$
[/mm]
Mache das mal.
Dann kannst du damit auch [mm] g(\vektor{x\\y}) [/mm] bestimmen
Gruß
schachuzipus
> danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
zu21:
f(z) ist ja dann [mm] f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}\right) [/mm] oder?
nur was setze ich dann ein für [mm] x_1, x_2,.... [/mm] & [mm] y_1, y_2 [/mm] usw?
zu22:
dh ich habe dann:
[mm] 2g\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] 4g\vektor{0 \\ 1} [/mm] = 4 und [mm] 3g\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] 2g\vektor{0 \\ 1}=12 [/mm] oder?
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Hallo nochmal,
> hallo!
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> zu21:
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> f(z) ist ja dann
> [mm]f\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}\right)[/mm]
> oder?
>
> nur was setze ich dann ein für [mm]x_1, x_2,....[/mm] & [mm]y_1, y_2[/mm]
> usw?
Wenn du z so setzt wie oben, dann ist [mm] $f(z)=f\left(\vektor{z_1\\z_2\\z_3\\z_4}\right)=\vektor{z_3-5z_4\\4z_2-3z_1}$
[/mm]
Nun wieder die [mm] z_i [/mm] ersetzen durch [mm] x_i+y_i:
[/mm]
[mm] $=\vektor{(x_3+y_3)-5(x_4+y_4)\\4(x_2+y_2)-3(x_1+y_1)}$
[/mm]
Das forme nun mal weiter um....
> zu22:
>
> dh ich habe dann:
>
> [mm]2g\vektor{1 \\ 0}[/mm] + [mm]4g\vektor{0 \\ 1}[/mm] = 4 und [mm]3g\vektor{1 \\ 0}[/mm] + [mm]2g\vektor{0 \\ 1}=12[/mm] oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
jo, das stimmt soweit. Nun bestimme daraus [mm] g(\vektor{1\\0}) [/mm] und [mm] g(\vektor{0\\1})
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
zu21:
also wenn ich habe:
[mm] f(z)=f\left(\vektor{z_1\\z_2\\z_3\\z_4}\right)=\vektor{z_3-5z_4\\4z_2-3z_1} =\vektor{(x_3+y_3)-5(x_4+y_4)\\4(x_2+y_2)-3(x_1+y_1)}
[/mm]
ist dann ja weiter:
[mm] =\vektor{(x_3+y_3-5x_4-5y_4)\\(4x_2+4y_2-3x_1-3y_1)} [/mm] = [mm] \vektor{(x_3-5x_4\\(4x_2-3x_1)} [/mm] + [mm] \vektor{(y_3-5y_4\\4y_2-3y_1)} [/mm] oder??
zu22:
da bekomme ich dann für [mm] g\vektor{0\\1}=3/2 [/mm] und für [mm] g\vektor{1\\0}=3 [/mm] herraus?
nur wie komme ich dann auf [mm] g\vektor{x\\y} [/mm] ?
danke!
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Hallo,
> hallo!
>
> zu21:
>
> also wenn ich habe:
>
> [mm]f(z)=f\left(\vektor{z_1\\z_2\\z_3\\z_4}\right)=\vektor{z_3-5z_4\\4z_2-3z_1} =\vektor{(x_3+y_3)-5(x_4+y_4)\\4(x_2+y_2)-3(x_1+y_1)}[/mm]
>
> ist dann ja weiter:
>
> [mm]=\vektor{(x_3+y_3-5x_4-5y_4)\\(4x_2+4y_2-3x_1-3y_1)}[/mm] =
> [mm]\vektor{(x_3-5x_4\\(4x_2-3x_1)}[/mm] +[mm]\vektor{(y_3-5y_4\\4y_2-3y_1)}[/mm] oder??
$=f(x)+f(y)$
>
> zu22:
>
> da bekomme ich dann für [mm]g\vektor{0\\1}=3/2[/mm] und für
> [mm]g\vektor{1\\0}=3[/mm] herraus? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dann wäre ja [mm] $g(\vektor{2\\4})=2g(\vektor{1\\0})+4g(\vektor{0\\1})=2\cdot{}3+4\cdot{}\frac{3}{2}=6+6=12\neq [/mm] 4$
Rechne nochmal nach, ich komme auf [mm] $g(\vektor{1\\0})=5$ [/mm] und [mm] $g(\vektor{0\\1})=-\frac{3}{2}$
[/mm]
>
> nur wie komme ich dann auf [mm]g\vektor{x\\y}[/mm] ?
Hab ich doch oben schon geschrieben...
[mm] $g(\vektor{x\\y})=x\cdot{}g(\vektor{1\\0})+y\cdot{}g(\vektor{0\\1})$
[/mm]
Dann einsetzen und du erhältst die Abbildungsvorschrift
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
zu21:
dh. wenn ich dann weiter mache erhalte ich:
[mm] f(\lambdax) [/mm] = [mm] f(\lambda(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}) [/mm] = [mm] f\vektor{\lambda1x_1\\ \lambda2x_2 \\ \lambda3x_3 \\ \lambda4x_4} [/mm] = [mm] \vektor{\lambdax_3-\lambda5x_4 \\ \lambda4x_2-\lambda3x_1)} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{x_3-5x_4 \\ 4x_2-3x_1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] f [mm] \vektor{x_1\\x_2}
[/mm]
dann wäre ja f(x+y)=f(x)+f(y) und [mm] f(\lambda x)=\lambda [/mm] f(x) oder??
also linear?
zu22:
aja danke, hab bei -3/2 das minus vergessen, bekomme dann für [mm] g(\vektor{x\\y}=5x-3/2y [/mm] raus.
danke!!
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