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limes vom Integral über x^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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limes vom Integral über x^n: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 Fr 08.07.2005
Autor: Brinchen

Hallo!

Bin total verzweifelt, weiß nicht mehr weiter...

Wie zeigt man, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} [/mm] {f( [mm] x^{n}) [/mm] dx}=f(0) ist
für jede Stetige Funktion f von [0,1] nach [mm] \IR [/mm]
(^heißt "hoch")

Danke im Voraus für DEINE Hilfe!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
limes vom Integral über x^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Fr 08.07.2005
Autor: Julius

Hallo!

Für [mm] $0\le [/mm] x <1$ gilt:

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty}x^n=0$, [/mm]

also wegen der Stetigkeit von $f$:

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty}f(x^n)=f(0)$ [/mm] Lebesgue-fast sicher auf $[0,1]$.

Da $f$ auf dem Kompaktum $[0,1]$ stetig, also beschränkt ist, liefert die konstante Funktion [mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_{\infty}=\sup\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|$ [/mm] eine geeignete Lebesgue-Majorante auf dem Kompaktum $[0,1]$.

Die Behauptung folgt nun aus dem Satz von der dominierten (=majorisierten) Konvergenz (von Lebesgue):

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_0^1 f(x^n)\, [/mm] dx = [mm] \int\limits_0^1 \lim\limits_{n \to \infty} f(x^n)\, [/mm] dx = [mm] \int\limits_0^1 f(0)\, [/mm] dx = f(0)$.

Viele Grüße
Julius


Bezug
                
Bezug
limes vom Integral über x^n: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Fr 08.07.2005
Autor: Brinchen

Vielen Dank für deine Hilfe!
Das baut mich jetzt auf... in Hinsicht auf eine Menge weiterer (für mich unlösbaren) Aufgaben...

Bezug
        
Bezug
limes vom Integral über x^n: Alternative: MWS
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Fr 08.07.2005
Autor: Fire21

Hi,

alternativ kann man das auch mit dem MWS der Integralrechnung zeigen:

[mm]\exists\xi\in (0;1): \int_{0}^{1}f(x)dx=f(\xi)[/mm]
also
[mm]\lim_{n\rightarrow\infty }\int ...=\lim_{n\rightarrow\infty}f(\xi^{n})=f(\lim_{n\rightarrow\infty}\xi^{n})=f(0)[/mm]

wobei die Stetigkeit von f und [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\xi^{n}=0[/mm] wegen [mm]0<\xi<1[/mm] benutzt wurde.

Gruß

Bezug
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