limes superior < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie lim inf [mm] a_n [/mm] und lim sup [mm] a_n.
[/mm]
[mm] a_n:= \begin{cases} 2+ (-1)^n^/^2, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1/n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] |
Hallo!
habe gerade diese Aufgabe gesucht und würde gerne wissen, ob ich sie richtig gelöst habe:
[mm] b_n:= 2+(-1)^n \begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ 3, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
lim sup [mm] b_n [/mm] = 3
[mm] c_n [/mm] := -1/n [mm] \begin{cases} -1/n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ -1/(n+1), & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
lim [mm] c_n [/mm] = 0
lim sup [mm] a_n [/mm] = 3
n [mm] \to \infty
[/mm]
lim inf [mm] a_n [/mm] =0
n [mm] \to \infty
[/mm]
Bin mir auch unsicher, ob ich die meineLösung "mathematisch korrekt" aufgeschrieben habe?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Freundliche Grüße
Britta_lernt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie lim inf [mm]a_n[/mm] und lim sup [mm]a_n.[/mm]
> [mm]a_n:= \begin{cases} 2+ (-1)^n^/^2, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1/n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo!
> habe gerade diese Aufgabe gesucht und würde gerne wissen,
> ob ich sie richtig gelöst habe:
> [mm]b_n:= 2+(-1)^n \begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ 3, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
Na , das ist nicht korrekt !
>
> lim sup [mm]b_n[/mm] = 3
Stimmz zwar, ist aber noch nicht begründet.
>
> [mm]c_n[/mm] := -1/n [mm]\begin{cases} -1/n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ -1/(n+1), & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
Was soll das denn ?
>
> lim [mm]c_n[/mm] = 0
>
> lim sup [mm]a_n[/mm] = 3
> n [mm]\to \infty[/mm]
> lim inf [mm]a_n[/mm] =0
> n [mm]\to \infty[/mm]
>
> Bin mir auch unsicher, ob ich die meineLösung
> "mathematisch korrekt" aufgeschrieben habe?
>
> Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Tipp: betrachte mal die 4 Teilfolgen
[mm] (a_{4j}), (a_{4j+1}), (a_{4j+2}) [/mm] und [mm] (a_{4j+3})
[/mm]
FRED
>
> Freundliche Grüße
> Britta_lernt
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Hallo Fred,
> > Bestimmen Sie lim inf [mm]a_n[/mm] und lim sup [mm]a_n.[/mm]
> > [mm]a_n:= \begin{cases} 2+ (-1)^n^/^2, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1/n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hallo!
> > habe gerade diese Aufgabe gesucht und würde gerne
> wissen,
> > ob ich sie richtig gelöst habe:
> > [mm]b_n:= 2+(-1)^n \begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ 3, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
>
> Na , das ist nicht korrekt !
> >
> > lim sup [mm]b_n[/mm] = 3
>
> Stimmz zwar, ist aber noch nicht begründet.
>
>
> >
> > [mm]c_n[/mm] := -1/n [mm]\begin{cases} -1/n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ -1/(n+1), & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> Was soll das denn ?
> >
Wir haben in der Vorlesung was ähnliches gemacht, aber hat hier wohl nit geklappt ^^
> > lim [mm]c_n[/mm] = 0
> >
> > lim sup [mm]a_n[/mm] = 3
> > n [mm]\to \infty[/mm]
> > lim inf [mm]a_n[/mm] =0
> > n [mm]\to \infty[/mm]
> >
> > Bin mir auch unsicher, ob ich die meineLösung
> > "mathematisch korrekt" aufgeschrieben habe?
> >
> > Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
>
>
>
> Tipp: betrachte mal die 4 Teilfolgen
>
> [mm](a_{4j}), (a_{4j+1}), (a_{4j+2})[/mm] und [mm](a_{4j+3})[/mm]
>
> FRED
> >
> > Freundliche Grüße
> > Britta_lernt
>
Ok ich hab es mal mit deinen Teilfolgen versucht und hoffe ich hab nicht zu viel Quatsch gemacht ^^ stelle mich noch etwas ungeschickt an 
[mm] b_n [/mm] := 2+ [mm] (-1)^n^/^2 [/mm]
[mm] b_4_j [/mm] = [mm] 2+(-1)^4^j^/^2= 2+(-1)^2^j
[/mm]
lim [mm] b_4_j [/mm] = 3
j [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] b_4_j_+_2_= 2+(-1)^4^j^+^2^/^2=2+(-1)^2^j^+^1
[/mm]
lim [mm] b_4_j_+_2 [/mm] = 1
j [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] c_n:= [/mm] -1/n
[mm] c_4_j_+_1 [/mm] = [mm] \bruch{-1}{4j+1}
[/mm]
lim [mm] c_4_j_+_1 [/mm] = 0
j [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] c_4_j_+_3 [/mm] = [mm] \bruch{-1}{4j+3}
[/mm]
lim [mm] c_4_j_+_3 [/mm] = 0
j [mm] \to \infty
[/mm]
Also lim sup [mm] a_n [/mm] = 3
und lim inf [mm] a_n [/mm] =0
Richtiger?
Danke für die Hilfe!
Britta_lernt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> > > Bestimmen Sie lim inf [mm]a_n[/mm] und lim sup [mm]a_n.[/mm]
> > > [mm]a_n:= \begin{cases} 2+ (-1)^n^/^2, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1/n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo!
> > > habe gerade diese Aufgabe gesucht und würde gerne
> > wissen,
> > > ob ich sie richtig gelöst habe:
> > > [mm]b_n:= 2+(-1)^n \begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ 3, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
> >
> > Na , das ist nicht korrekt !
> > >
> > > lim sup [mm]b_n[/mm] = 3
> >
> > Stimmz zwar, ist aber noch nicht begründet.
> >
> >
> > >
> > > [mm]c_n[/mm] := -1/n [mm]\begin{cases} -1/n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ -1/(n+1), & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Was soll das denn ?
> > >
> Wir haben in der Vorlesung was ähnliches gemacht, aber hat
> hier wohl nit geklappt ^^
>
> > > lim [mm]c_n[/mm] = 0
> > >
> > > lim sup [mm]a_n[/mm] = 3
> > > n [mm]\to \infty[/mm]
> > > lim inf [mm]a_n[/mm] =0
> > > n [mm]\to \infty[/mm]
> > >
> > > Bin mir auch unsicher, ob ich die meineLösung
> > > "mathematisch korrekt" aufgeschrieben habe?
> > >
> > > Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
> >
> >
> >
> > Tipp: betrachte mal die 4 Teilfolgen
> >
> > [mm](a_{4j}), (a_{4j+1}), (a_{4j+2})[/mm] und [mm](a_{4j+3})[/mm]
> >
> > FRED
> > >
> > > Freundliche Grüße
> > > Britta_lernt
> >
>
> Ok ich hab es mal mit deinen Teilfolgen versucht und hoffe
> ich hab nicht zu viel Quatsch gemacht ^^ stelle mich noch
> etwas ungeschickt an
>
> [mm]b_n[/mm] := 2+ [mm](-1)^n^/^2[/mm]
>
> [mm]b_4_j[/mm] = [mm]2+(-1)^4^j^/^2= 2+(-1)^2^j[/mm]
>
> lim [mm]b_4_j[/mm] = 3
> j [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]b_4_j_+_2_= 2+(-1)^4^j^+^2^/^2=2+(-1)^2^j^+^1[/mm]
>
> lim [mm]b_4_j_+_2[/mm] = 1
> j [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]c_n:=[/mm] -1/n
>
> [mm]c_4_j_+_1[/mm] = [mm]\bruch{-1}{4j+1}[/mm]
>
> lim [mm]c_4_j_+_1[/mm] = 0
> j [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]c_4_j_+_3[/mm] = [mm]\bruch{-1}{4j+3}[/mm]
>
> lim [mm]c_4_j_+_3[/mm] = 0
> j [mm]\to \infty[/mm]
>
> Also lim sup [mm]a_n[/mm] = 3
> und lim inf [mm]a_n[/mm] =0
>
> Richtiger?
Ja, aber warum schreibst Du die b's und die c's. Es sind eh doch die a's
FRED
>
> Danke für die Hilfe!
>
> Britta_lernt
>
>
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Hallo Fred,
wow du bist aber flott 
> >
> > Ok ich hab es mal mit deinen Teilfolgen versucht und hoffe
> > ich hab nicht zu viel Quatsch gemacht ^^ stelle mich noch
> > etwas ungeschickt an
> >
> > [mm]b_n[/mm] := 2+ [mm](-1)^n^/^2[/mm]
> >
> > [mm]b_4_j[/mm] = [mm]2+(-1)^4^j^/^2= 2+(-1)^2^j[/mm]
> >
> > lim [mm]b_4_j[/mm] = 3
> > j [mm]\to \infty[/mm]
> >
> > [mm]b_4_j_+_2_= 2+(-1)^4^j^+^2^/^2=2+(-1)^2^j^+^1[/mm]
> >
> > lim [mm]b_4_j_+_2[/mm] = 1
> > j [mm]\to \infty[/mm]
> >
> > [mm]c_n:=[/mm] -1/n
> >
> > [mm]c_4_j_+_1[/mm] = [mm]\bruch{-1}{4j+1}[/mm]
> >
> > lim [mm]c_4_j_+_1[/mm] = 0
> > j [mm]\to \infty[/mm]
> >
> > [mm]c_4_j_+_3[/mm] = [mm]\bruch{-1}{4j+3}[/mm]
> >
> > lim [mm]c_4_j_+_3[/mm] = 0
> > j [mm]\to \infty[/mm]
> >
> > Also lim sup [mm]a_n[/mm] = 3
> > und lim inf [mm]a_n[/mm] =0
> >
> > Richtiger?
>
> Ja, aber warum schreibst Du die b's und die c's. Es sind eh
> doch die a's
>
> FRED
Ich weiß auch nicht warum mit den c's und b's - ich werde es ändern. In der Vorlesung hat der Prof es so gemacht, aber hier machts nicht so richtig Sinn.
Es soll jetzt noch von der Folge mit der Teilmenge { [mm] a_1,a_2, [/mm] ... } Häufungspunkte und Berührpunkte bestimmt werden.
Mir fällt es schwer, dass aufzuschreiben:
Der Häufungspunkt wäre ja der Grenzwert (= Häufungspunkt) von -1/n = 0
Und die Berührungspunkte sind die, die in einer [mm] U_\varepsilon [/mm] mind einen Punkt enthalten. Sind dann die Berührungspunkte
Hmmm.. wären dann die Häufungspunkte die ungeraden und Berührungspunkte die geraden n's?
Danke für die Hilfe
Britta_lernt
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Hmmm also Häufungspunkt ist {0} und Berührungspunkte {1,3}?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 13.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hmmm also Häufungspunkt ist {0} und Berührungspunkte
> {1,3}?
Was sind denn Berührpunkte einer Folge ??
Die Folge hat 3 Häufungspunkte: 0,1,3
FRED
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Hallo Fred,
Also Berührpunkte, sind Punkte, in deren epsilon Umgebung mind ein Punkt liegt..
ja und hier sehe ich grad dass ich falsche gedacht habe uiuiu. klar 1 und 3 sind natürlich auch häufungspunkte.
Ist jeder Häufungspunkt nicht eigentlich auch ein Berührpunkt?
Danke für deine Hilfe
Liebe Grüße
Britta_lernt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 So 14.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Britta!
> Ist jeder Häufungspunkt nicht eigentlich auch ein
> Berührpunkt?
Ja, auch uneigentlich.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Also Berührpunkte, sind Punkte, in deren epsilon Umgebung
> mind ein Punkt liegt..
Du bist sehr unpräzise und Du scheinst etwas zu verwechseln.
Bitte Unterscheide zwischen Häufungspunkten/Berürpunkten von Mengen
und
Häufungspunkten von Folgen
Sei A [mm] \subseteq \IR [/mm] und a [mm] \in [/mm] A.
a heißt Berührpunkt von A [mm] \gdw [/mm] jede Umgebung von a trifft A
a heißt Häufungspunkt von A [mm] \gdw [/mm] jede Umgebung von a trifft A \ { a }
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge.
a [mm] \in \IR. [/mm] a heißt Häufungspunkt von [mm] (a_n) \gdw [/mm] für jede Umgebung U von a gilt: [mm] a_n \in [/mm] U für unendlich viele n
Ist z.B. [mm] (a_n)= [/mm] (1,1,1,....), so hat [mm] (a_n) [/mm] den Häufungspunkt 1, die Wertemenge von [mm] (a_n) [/mm] hat aber keine Häufungspunkte.
FRED
> ja und hier sehe ich grad dass ich falsche gedacht habe
> uiuiu. klar 1 und 3 sind natürlich auch häufungspunkte.
> Ist jeder Häufungspunkt nicht eigentlich auch ein
> Berührpunkt?
>
> Danke für deine Hilfe
>
> Liebe Grüße
> Britta_lernt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 13.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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