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limes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 So 23.11.2008
Autor: Thomas87

Aufgabe
[mm] \lim_{n \to \infty } 3^{-n} (2^n [/mm] + [mm] (-2)^n) [/mm]

Wie komme ich hier auf den Grenzwert? Kann man einfach annehmen, dass der erste Faktor gegen  strebt und die anderen deswegen auch? Ich weiß nämlich nicht, wie ich mit der (-2) umgehen muss.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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limes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 So 23.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Thomas,

> [mm]\lim_{n \to \infty } 3^{-n} (2^n[/mm] + [mm](-2)^n)[/mm]
>  Wie komme ich hier auf den Grenzwert? Kann man einfach
> annehmen, dass der erste Faktor gegen  strebt und die
> anderen deswegen auch? Ich weiß nämlich nicht, wie ich mit
> der (-2) umgehen muss.

Umschreiben und ausklammern ist immer eine gute Möglichkeit:

[mm] $3^{-n}(2^n+(-2)^n)=\frac{2^n+(-1)^n\cdot{}2^n}{3^n}=\frac{2^n\cdot{}(1+(-1)^n)}{3^n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n\cdot{}(1+(-1)^n)$ [/mm]

Was passiert hier nun für [mm] $n\to\infty$? [/mm]

Untersuche n gerade und n ungerade mal getrennt, was fällt auf?

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


LG

schachuzipus

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limes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 So 23.11.2008
Autor: Thomas87

bei ungeraden zahlen wird der zweite faktor immer 0, also strebt es bei ungeraden gegen null.
bei gerade zahlen würde der erste faktor gegen 0 streben und dann eben noch mal zwei multipliziert werden, was aber nicht mehr wichtig ist.
ist das richtig so?
das wäre trotz zwei verschiedenen fälle konvergent, oder?

Bezug
                        
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limes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 So 23.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> bei ungeraden zahlen wird der zweite faktor immer 0, also
> strebt es bei ungeraden gegen null.
>  bei gerade zahlen würde der erste faktor gegen 0 streben
> und dann eben noch mal zwei multipliziert werden, was aber
> nicht mehr wichtig ist.
>  ist das richtig so? [ok]
>  das wäre trotz zwei verschiedenen fälle konvergent, oder?

Ja klar, das ist ja hier eine alternierende Nullfolge, die immer zwischen 0 und einem immer kleiner werdenden Wert oberhalb von 0 hin- und herhüppelt

Irgendwann kommt die von oben kommende Teilfolge ja beliebig nahe heran an 0, also näher als ein beliebig vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm]

LG

schachuzipus


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limes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 So 23.11.2008
Autor: Thomas87

Aufgabe
$ [mm] \lim_{n \to \infty } \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm]

Wie gehe ich hier vor?

Bezug
                
Bezug
limes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 So 23.11.2008
Autor: janmoda

Hallo,

Bei sehr großen Weerten für n ist der Zusatz +1 unter der ersten Wurzel zu vernachlässigen. Bei n [mm] \to \infty [/mm] nähert sich der Term also der 0 aus dem positiven WErtebereich kommend an.

Gruß janmoda

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limes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 So 23.11.2008
Autor: schachuzipus

Halo Thomas,

mathematisch gehst du so vor wie immer bei Summen und Differenzen von Wurzeln:

So erweitern, dass du die 3.binomische Formel hinbekommst und die Wurzelausdrücke wegbekommst:

Also [mm] $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\blue{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}{\blue{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ [/mm]

Und das strebt nun für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen ...


LG

schachuzipus

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