lim und Sup < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Di 28.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Kann mir vielleicht jemand erklären, was der Unterschied ist, wenn man:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(fn(x)) [/mm] schreibt ODER
Sup(fn(x)) mit n [mm] \in \IN
[/mm]
Hierbei sein fn(x) eine Folge von Funktionen.
Vielen Dank!!
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> Hallo!
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> Kann mir vielleicht jemand erklären, was der Unterschied
> ist, wenn man:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(fn(x))[/mm] schreibt ODER
>
> Sup(fn(x)) mit n [mm]\in \IN[/mm]
Hallo,
der limes ist der Grenzwert, der Wert, an den die Folge beliebig dicht "heranrückt" mit fast allen Folgengliedern. In jeder noch so kleinen Umgebung des Grenzwertes liegen unendlich viele Folgenglieder, aber nur endlich viele außerhalb.
Das Supremum ist die kleinste obere Schranke der Folge. Das bedeutet zum einen, daß die Folge nach oben beschränkt ist, und daß jede andere obere Schranke größer ist. Die Folge muß deswegen aber noch lange nicht konvergieren. Sie kann z.B. munter zwischen oberer und unterer Schranke (falls es eine gibt) umherhüpfen, oder sich davonmachen ins Minusunendliche.
Bei manchen Folgen, bei denen, die sich von unten dem Grenzwert nähern, kann aber der Grenzwert das Supremum sein.
Könnt ich hier doch Bilder malen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 28.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo Angela!
Aber dann ist doch z.B. bei der Berechnung des Konvergenzradius von einer Potenzreihe mit Hilfe der Formel von Cauchy-Hadamard welche besagt:
R¯1 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup [/mm] ( [mm] \wurzel[n]{abs(a(n))}) [/mm] Das Wort "sup" irgendwie
überflüssig oder?? Oder was wäre dann der Unterschied, wenn ich die Formel OHNE
sup schreibe ???
Viele Grüße
Holger
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Hallo!
Beim Konvergenzradius berechnest du den sogenannten Limes superior.
Um ihn zu bilden, betrachtest du folgende neue Folge:
[mm] $\overline{a_n}=\sup\limits_{k\ge n}a_k$.
[/mm]
Als Limes superior bezeichnet man dann den Grenzwert dieser neuen Folge: [mm] $\limsup a_n:=\lim \overline{a_n}$.
[/mm]
Bereits bei einer einfachen Folge kann man den Unterschied sehen: [mm] $a_n:=(-1)^n$. [/mm] Diese Folge konvergiert nicht, sie ist alternierend.
Dann gilt [mm] $\overline{a_n}=1$, [/mm] also ist [mm] $\limsup a_n=\lim \overline{a_n}=1$.
[/mm]
Wenden wir das jetzt mal auf eine Potenzreihe an, z.B. die Sinus-Reihe: [mm] $\sin(x)=\summe_{n=0}^\infty \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$.
[/mm]
Die Koeffizienten in dieser Potenzreihe sind also: [mm] $a_n=\begin{cases} (-1)^{\bruch n2}/(n+1)!,&\mbox{falls n gerade},\\ 0 ,&\mbox{falls n ungerade}.\end{cases}$.
[/mm]
[mm] $a_{2n}$ [/mm] ist also eine monoton fallende Folge und es gilt:
[mm] $\overline{a_{n}}=\begin{cases} (-1)^{\bruch n2}/(n+1)!,&\mbox{falls n gerade},\\ (-1)^{\bruch{n+1}2}/(n+2)! ,&\mbox{falls n ungerade}. \end{cases}$, [/mm] oder anders ausgedrückt: [mm] $\overline{a_{2n}}=\overline{a_{2n-1}}=a_{2n}$.
[/mm]
Ist dir der Limes superior jetzt ein bisschen klarer?
Gruß, banachella
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