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| Aufgabe | [mm] A_{n} [/mm] konvergiert gegen A, wenn [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A gilt:
[mm] \exists N_{a} [/mm] s.d. [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge N_{a} [/mm] gilt a [mm] \in [/mm] A
Mit welcher Konvergenz ist diese Definition gleich?
Geben Sie ein Beispiel, welches zeigt, dass die Stetigkeit von P nicht mehr stimmt. |
Guten Abend!
Ich habe diese Aufgabe erhalten und tue mich etwas schwer mit der Konvergenz von Mengen :( Also ich habe mir berlegt was obige Definition aussagt. Das heisst ja ab einem gewissen [mm] N_{a} [/mm] sind alle Elemente in A, das heisst das wäre dann äquivalent zum limes inferior (es ist egal was am Anfang passiert, aber ab einer gewissen Grenze sind alle Elemente in der menge). Hoffe da liege ich richtig..
Dann das Beispiel?! Leider bin ich da noch gar nirgends.. die Stetigkeit von P besagt ja:
P[lim inf [mm] A_{n}] \le [/mm] lim inf [mm] P[A_{n}] \le [/mm] lim sup [mm] P[A_{n}] \le [/mm] P[lim sup [mm] A_{n}]
[/mm]
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Einen kleinen Tipp geben? Vielen Dank, grenzwert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:11 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Deine Folgerung ist nicht korrekt.
Für jedes [mm] a\in [/mm] A gibt es eine eigene Grenze [mm] N_a, [/mm] ab der es in [mm] A_n [/mm] liegen muss.
> ab einem gewissen $ [mm] N_{a} [/mm] $ sind alle Elemente in [mm] A_n
[/mm]
Nein.
Wenn du dir eine Grenze N suchst, dann kann es immer noch Elmente a geben, deren [mm] N_a>N [/mm] ist, und diese damit noch nicht in [mm] A_n [/mm] liegen.
Z.B.:
[mm] A=(0,1)\subset\IR
[/mm]
[mm] A_n=[\bruch{1}{n},1)\subset\IR
[/mm]
Dann gilt für [mm] x\in [/mm] A : [mm] N_a\ge \bruch{1}{x}.
[/mm]
Damit haben alle eine Grenze [mm] N_a, [/mm] aber es sind nie alle Elemente in [mm] A_n.
[/mm]
Ciao.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Deine Folgerung ist nicht korrekt.
> Für jedes [mm]a\in[/mm] A gibt es eine eigene Grenze [mm]N_a,[/mm] ab der es
> in [mm]A_n[/mm] liegen muss.
>
> > ab einem gewissen [mm]N_{a}[/mm] sind alle Elemente in [mm]A_n[/mm]
> Nein.
> Wenn du dir eine Grenze N suchst, dann kann es immer noch
> Elmente a geben, deren [mm]N_a>N[/mm] ist, und diese damit noch
> nicht in [mm]A_n[/mm] liegen.
>
> Z.B.:
> [mm]A=(0,1)\subset\IR[/mm]
> [mm]A_n=[\bruch{1}{n},1)\subset\IR[/mm]
>
> Dann gilt für [mm]x\in[/mm] A : [mm]N_a\ge \bruch{1}{x}.[/mm]
> Damit haben
> alle eine Grenze [mm]N_a,[/mm] aber es sind nie alle Elemente in
> [mm]A_n.[/mm]
>
ja, seine Argumentation war falsch. Aber er hat Recht mit der Behauptung, dass das der [mm] $\liminf$ [/mm] ist:
An Deinem Beispiel kann man das auch illustrieren:
$A$ ist genau die Menge der Zahlen $a$, so dass $a [mm] \in \left[\frac{1}{n},1\right)$ [/mm] ab einem genügend großen $n$ (weil [mm] $\left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] monoton fallend gegen $0$). Es ist leicht einzusehen, dass $A=(0,1)$ gilt.
(Das hast Du ja schon selbst geschrieben.)
Zudem:
[mm] $\liminf_{n \to \infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty A_m$, [/mm] und hier ist
[mm] $\bigcap_{m=n}^\infty A_m=A_n$ [/mm] (wegen [mm] $A_k \subset A_{k+1}$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$), [/mm] also:
[mm] $\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty A_m=\bigcup_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{n},1\right)=(0,1)$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 21.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Grenzwert,
> [mm]A_{n}[/mm] konvergiert gegen A, wenn [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A gilt:
> [mm]\exists N_{a}[/mm] s.d. [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge N_{a}[/mm] gilt a [mm]\in[/mm] [mm] $A_\red{n}$
[/mm]
> Mit welcher Konvergenz ist diese Definition gleich?
> Geben Sie ein Beispiel, welches zeigt, dass die Stetigkeit
> von P nicht mehr stimmt.
> Guten Abend!
> Ich habe diese Aufgabe erhalten und tue mich etwas schwer
> mit der Konvergenz von Mengen :( Also ich habe mir berlegt
> was obige Definition aussagt. Das heisst ja ab einem
> gewissen [mm]N_{a}[/mm] sind alle Elemente in A, das heisst das wäre
> dann äquivalent zum limes inferior (es ist egal was am
> Anfang passiert, aber ab einer gewissen Grenze sind alle
> Elemente in der menge). Hoffe da liege ich richtig..
ja und nein. Deine Erklärung passt so irgendwie gar nicht, aber es gilt dann in der Tat
[mm] $A=\liminf_{n \to \infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty A_m$
[/mm]
Denn:
Gelte nach obiger Definition [mm] $A_n \to [/mm] A$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm]
Dann gilt einerseits:
Sei $a [mm] \in [/mm] A$. Dann gilt:
[mm] $\exists N=N_a$: $\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$: $a [mm] \in A_n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a [mm] \in \bigcap_{m=N_a}^\infty A_m$ [/mm] und wegen $a [mm] \in \bigcap_{m=N_a}^\infty A_m \subset \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty A_m=\liminf_{n \to \infty}A_n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a [mm] \in \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty A_m=\liminf_{n \to \infty}A_n$, [/mm] also gilt $A [mm] \subset \liminf_{n \to \infty}A_n$.
[/mm]
Zudem gilt andererseits:
Sei $a [mm] \in \liminf_{n \to \infty}A_n$. [/mm] Dann existiert ein $N [mm] \in \IN$, [/mm] so dass $a [mm] \in \bigcap_{m=N}^\infty A_m$. [/mm] Daher gilt $a [mm] \in A_m$ [/mm] für alle $m [mm] \ge [/mm] N$, wir können also [mm] $N_a=N$ [/mm] setzen, um einzusehen, dass damit $a [mm] \in [/mm] A$ gilt (wir könnten auch [mm] $N_a [/mm] > N$ wählen, z.B. [mm] $N_a:=N+7$, [/mm] das ginge auch).
Das heißt, es gilt dann auch
[mm] $\liminf_{n \to \infty}A_n \subset [/mm] A$.
Gruß,
Marcel
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