lim sup, lim inf < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 So 04.12.2005 | | Autor: | Nubstyle |
Hi,
ich weiß das folgende Aufgabe nicht schwer ist, anschaulich ist das auch völlig klar, aber irgendwie komm ich gerade net drauf.
Sei [mm] x_{n} [/mm] eine beschränkte Folge, dann sind folgende Aussagen aquivalent:
I) x' = lim sup [mm] x_{n}
[/mm]
II)
a) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] unendlich viele n: x' - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] x_{n}
[/mm]
und
b) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] höchstens endlich viele n: [mm] x_{n} [/mm] >x' + [mm] \varepsilon
[/mm]
Danke schon mal für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Eigentlich solltest du bei jeder Frage einen Ansatz mitliefern. Allerdings scheint gerade der richtige Ansatz dein Problem zu sein, deshalb mache ich mal den Ansatz, vielleicht kommst du dann weiter...
[mm] [u]I)$\underline\Rightarrow$II):[/u]
[/mm]
Sei [mm] $\limsup_{n\to\infty}x_n=x'$, [/mm] sei [mm] $\epsilon>0$.
[/mm]
Sei [mm] $\big(x_{n_k}\big)_{k\in\IN}$ [/mm] die [mm] "$\limsup$"-Teilfolge [/mm] von [mm] $x_n$, [/mm] die gegen $x'$ konvergiert. Dann gibt es ein [mm] $K\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $|x'-x_{n_k}|<\eps$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] K$. Insbesondere ist [mm] $x'-x_{n_k}<\eps$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] K$.
Daraus folgt schon fast Behauptung a)!
Jetzt musst du noch die richtige Definition der [mm] $x_{n_k}$ [/mm] benutzen! Denk daran, dass [mm] $\{x_1,\dots,x_K\}$ [/mm] ja gerade die größten Elemente der Folge sind...
[mm] [u]II)$\underline\Rightarrow$I):[/u]
[/mm]
Angenommen, [mm] $\limsup x_n=x''> [/mm] x'$. Dann gäbe es eine Teilfolge [mm] $\big(x_{n_k}\big)_{k\in\IN}$, [/mm] so dass [mm] $x_{n_k}\to [/mm] x''$. Setze nun [mm] $\epsilon:=\bruch{x''-x'}2$. [/mm] Also gibt es ein [mm] $K\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $|x''-x_{n_k}|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] K$. Das ist aber ein Widerspruch zu a)!
Jetzt musst du nur noch eine Teilfolge von [mm] $(x_n)$ [/mm] konstruieren, die gegen $x'$ geht... Hast du dafür eine Idee?
Gruß, banachella
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