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| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und geben Sie lim inf und lim sup an.
[mm] b_{n}= \wurzel[n]{n}-1, [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Hinweis: Verwenden sie den Ansatz [mm] n=(1+b_{n})^n [/mm] , um eine Abschätzung zu gewinnen.
[mm] c_{n}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{2}{4k^2 -1}
[/mm]
Hinweis PArtialbruchzerlegung und Teleskopsumme |
Wenn ich die bn plotte, dann vermute ich mal den Grenzwert 0 und würde dann gerne 0 als untere SChranke beweisen und dann noch zeigen, dass das ganze monoton fallend ist.
1.) [mm] \wurzel[n]{n}-1 \ge [/mm] 0
Das würde ich gerne mit Induktion lösen:
n=1 [mm] \Rightarrow \wurzel[1]{1}-1=1-1=0 \ge [/mm] 0
und für n+1 komme ich jetzt nicht weiter, ich bekomme den Ausdruck nicht in den Griff:
[mm] \wurzel[n+1]{n+1}-1
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Big_Head78,
> Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und
> geben Sie lim inf und lim sup an.
>
> [mm]b_{n}= \wurzel[n]{n}-1,[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> Hinweis: Verwenden sie
> den Ansatz [mm]n=(1+b_{n})^n[/mm] , um eine Abschätzung zu
> gewinnen.
>
> [mm]c_{n}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{2}{4k^2 -1}[/mm]
> Hinweis
> PArtialbruchzerlegung und Teleskopsumme
> Wenn ich die bn plotte, dann vermute ich mal den Grenzwert
> 0 und würde dann gerne 0 als untere SChranke beweisen und
> dann noch zeigen, dass das ganze monoton fallend ist.
Das ist nicht so leicht ...
Und stimmt das überhaupt?
Ich meine, dass zB [mm]b_1
>
> 1.) [mm]\wurzel[n]{n}-1 \ge[/mm] 0
>
> Das würde ich gerne mit Induktion lösen:
>
> n=1 [mm]\Rightarrow \wurzel[1]{1}-1=1-1=0 \ge[/mm] 0
>
> und für n+1 komme ich jetzt nicht weiter, ich bekomme den
> Ausdruck nicht in den Griff:
>
> [mm]\wurzel[n+1]{n+1}-1[/mm]
Gedacht ist die Aufgabe so, dass du die Folge [mm]b_n[/mm] zwischen zwei Nullfolgen einquetscht, so dass [mm]b_n[/mm] nach dem Sandwichlemma ebenfalls gegen 0 konvergiert.
Eine untere Schranke hast du mit 0, um eine obere zu finden, ist der Tipp mit dem Umschreiben gedacht.
Wende auf [mm](1+b_n)^n[/mm] den binomischen Lehrsatz an und schätze damit ab ...
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Das mit der Monotonie stimmt nur ab einem bestimmten n0, so sieht der Plott zumindest aus.
Ist mein Ansatz für die untere Schranke 0 denn richtig gedacht mit der Induktion?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Das mit der Monotonie stimmt nur ab einem bestimmten n0, so
> sieht der Plott zumindest aus.
>
> Ist mein Ansatz für die untere Schranke 0 denn richtig
> gedacht mit der Induktion?
Das geht doch ohne Induktion:
für n [mm] \ge [/mm] 1 ist auch [mm] \wurzel[n]{n} \ge \wurzel[n]{1}=1
[/mm]
FRED
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so ich überlege immer noch wegen der Abschätzung, habe mich mittlerweile an der cn versucht:
[mm] \bruch{2}{4k^2-1}= \bruch{A}{2k-1}+ \bruch{B}{2k+1}= \bruch{1}{2k-1}+ \bruch{-1}{2k+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{n} \bruch{2}{4k^2-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2k-1}+ \bruch{-1}{2k+1}
[/mm]
= 1- [mm] \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] cn= 1, also ist 1 ein Häufungspunkt, oder?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup cn= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf cn=1
Ist das richtig?
Und bei bn habe ich jetzt:
n= [mm] (1+b_{n})^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}*b_{n}^k
[/mm]
Leider kann ich noch immer keine mögliche Abschätzung erkennen. Ich habe doch nur n umgeschrieben, aber ich brauche doch eine Folge die größer als [mm] b_{n} [/mm] ist, und deren GW auch 0 ist. Stimmt das?
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Hallo nochmal,
> so ich überlege immer noch wegen der Abschätzung, habe
> mich mittlerweile an der cn versucht:
>
> [mm]\bruch{2}{4k^2-1}= \bruch{A}{2k-1}+ \bruch{B}{2k+1}= \bruch{1}{2k-1}+ \bruch{-1}{2k+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{k=1}^{n} \bruch{2}{4k^2-1}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2k-1}+ \bruch{-1}{2k+1}[/mm]
>
> = 1- [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] cn= 1, also ist 1
> ein Häufungspunkt, oder?
Ja, sogar der Reihenwert!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup cn=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] inf cn=1
>
> Ist das richtig?
>
>
>
> Und bei bn habe ich jetzt:
>
> n= [mm](1+b_{n})^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k}*b_{n}^k[/mm]
>
> Leider kann ich noch immer keine mögliche Abschätzung
> erkennen. Ich habe doch nur n umgeschrieben, aber ich
> brauche doch eine Folge die größer als [mm]b_{n}[/mm] ist, und
> deren GW auch 0 ist. Stimmt das?
Ja, stimmt!
Tipp: die Summe rechterhand besteht aus lauter positiven Summanden, ist also [mm]\ge[/mm] der Summe, die nur aus dem ersten und dem dritten Summanden besteht ...
Gruß
schachuzipus
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