lim inf, lim sup < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Mo 27.02.2012 | | Autor: | chara18 |
| Aufgabe | Wie können wir mit Hilfe des lim sup und lim inf beweisen, dass eine
Folge nicht konvergent ist? |
Beispiel xn = n /(1 + n) = 1/ (1 + 1 /n)
Ich habe lim sup und lim inf nicht richtig verstanden. Besser gesagt, ich weiß nicht wie ich das richtig beweisen soll.
1)Könnte jemand mir bitte leicht verständlich lim sup und lim inf erklären???
2) Dabei bitte auch sagen,wie man soetwas beweist. (Verstehen und beweisen sind nicht immer das gleiche)
3) Und als letztes die obige Frage beantworten, mit dem Beispiel auch noch beweisen.
Ich bedanke mich rechtherzlich für Eure Mühe :)
Ich habe diesen Artikel nur hier gepostet
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moin chara,
Weißt du, was Häufungspunkte einer Folge sind?
Wenn nein dann wird es schwer, dir das zu erklären...
Wenn ja:
Wir nennen $A$ die Menge der Häufungspunkte der Folge.
Dann gilt:
[mm] $\limsup_{n \to \infty} a_n [/mm] := [mm] \begin{cases} sup A, & \text{Wenn die Folge nach oben beschränkt und } A \neq \emptyset \\
-\infty, & \text{Wenn die Folge nach oben beschränkt und } A = \emptyset \\
\infty, & \text{Falls die Folge nicht nach oben beschränkt}
\end{cases}$
[/mm]
Zugegeben, diese Definition sieht auf den ersten Blick recht kompliziert aus.
Aber anschaulich kannst du dir das so klar machen:
Der Limes superior ist der größte Häufungspunkt der Folge.
Ist die Folge nach oben unbeschränkt, so ist es sinnvoll, diesen auf unendlich zu setzen.
Ist die Folge nach oben beschränkt, so nehmen wir den größten Häufungspunkt (oder falls es unendlich viele sind eben das Supremum).
Ist die Folge nach oben beschränkt, hat aber keinen Häufungspunkt, so muss man den Limes superior irgendwie sinnvoll definieren; $- [mm] \infty$ [/mm] bietet sich hier an, da damit ausgedrückt werden soll: "Die Folge hat keinen Häufungspunkt, haut aber auch nicht gegen [mm] $+\infty$ [/mm] ab".
Der Limes inferior ist sehr ähnlich definiert, schau das am besten mal in deinem Skript nach.
Nun zur Aufgabe:
Wie beweist man mit Hilfe der beiden, dass eine Folge nicht konvergent ist?
Dafür stelle ich dir die Frage: Was muss die Menge $A$ der Häufungspunkte für Konvergenz erfüllen? Was kannst du bei einer konvergenten Folge über Beschränktheit sagen?
Nimmst du diese beiden Infos zusammen mit den Definitionen von lim sup und lim inf so dürftest du in der Lage sein die Frage zu beantworten.
Sollte es dabei Probleme geben oder wenn du beim Beweis danach irgendwo stecken bleibst kannst du gern nochmal nachfragen.
lg
Schadow
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