lim, Konvergenz, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Fr 13.04.2012 | | Autor: | Grischa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n})^n[/mm] |
Durch die eulersche Zahl e:= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n[/mm] kommt man ja schon nah dran. Erweitern mit +1-1 führt aber auch nicht recht zu einem Ergebnis.
Jemand eine Idee wie man das - da wegbekommt? ;)
Viele Grüße
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[mm]\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \left( \frac{n-1}{n} \right)^n = \frac{1}{\left( \frac{n}{n-1} \right)^n}[/mm]
Jetzt [mm]n = k+1[/mm] substituieren, Potenzgesetze und Grenzwertregeln anwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Fr 13.04.2012 | | Autor: | Grischa |
Danke für die schnelle Antwort, jedoch leuchtet mir nicht ein warum ich n mit k+1 austauschen soll?!
[mm]\bruch{1}{(\bruch{k+1}{k})^k (\bruch{k+1}{k})}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e (1 + \bruch{1}{k})}[/mm] ... ok ich bin verwirrt.
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Hallo Grischa,
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> Danke für die schnelle Antwort, jedoch leuchtet mir nicht
> ein warum ich n mit k+1 austauschen soll?!
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> [mm]\bruch{1}{(\bruch{k+1}{k})^k (\bruch{k+1}{k})}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") =
> [mm]\bruch{1}{e (1 + \bruch{1}{k})}[/mm]
Das "=" stimmt nicht.
Mit der obigen Substitution geht mit [mm]n\to\infty[/mm] auch [mm]k\to\infty[/mm]
Und [mm]\left(\frac{k+1}{k}\right)^k\longrightarrow e[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm] hast du ja richtig erkannt.
Bleibt [mm]\left(1+1/k\right)[/mm]
Was treibt das für [mm]k\to\infty[/mm]?
Das geht gegen [mm](1+0)=1[/mm]
Insgesamt also [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-1/n\right)^n=...=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{k+1}{k}\right)^k\cdot{}\left(1+1/k\right)}=\frac{1}{e\cdot{}1}=\frac{1}{e}[/mm]
Allg. gilt [mm]\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\longrightarrow e^x[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Bei dir ist [mm]x=-1[/mm]
> ... ok ich bin verwirrt.
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Fr 13.04.2012 | | Autor: | Grischa |
Ah perfekt, danke für die Erklärung mit n und k, das hatte gefehlt. Macht jetzt aber total Sinn.
Das [mm]\bruch{1}{k}[/mm] bei k [mm]k \to \infty[/mm] zu 0 wird, hätte ich auch selbst drauf kommen können.
Danke!
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