letzte(n) Ziffer(n) bestimmen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wie kann man die letzte und vorletzte Ziffer eines Produktes dreier Zahlen der Form [mm] a^{x}b^{y}c^{z} [/mm] berechnen.
Wie weit können Sie Aussagen über die letzte Ziffer eines solchen Produktes verallgemeinern.
Tipp: modulare Arithmetik |
Hallo,
ich rätsle gerade an dieser Aufgabe und bräuchte dringend etwas Beistand.
Was ich an vorwissen mitbringe :
Generell kann man , Dank der mod Rechneweise, die letzte Zahl der Form [mm] a^{x} [/mm] durch mod 10 und die vorletzte durch mod100 berechnen.
[mm] a^{x}b^{y}c^{z} [/mm] hat weder gleiche Basen noch Exponenten und ist somit nicht weiter zusammenfassbar.
Wenn ich die Frage insgesamt richtig verstehe scheint es dem Aufgabensteller doch darum zu gehen eine allgemeingültige Lösungsformel für den gegebenen Fall zu erarbeiten?
Es würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, da ich hier alleine aufgeschmissen bin.
Vielen Dank im Voraus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Sa 25.03.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
gibt es Einschränkungen für x,y,z? z.B >1
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:27 Mo 27.03.2017 | | Autor: | Windbeutel |
Hallo,
ich habe die komplette Aufgabe, mit allen enthaltenen Informationen, wiedergegeben. Demnach kann ich nicht von einer solchen Einschränkung ausgehen.
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Wenn du dir eine Tabelle mit den Enbdziffern von Zahlen und denen ihrer Potenzen machst, sieht diese wie folgt aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das bedeutet, dass die Endziffern 0,1,5 und 6 beim Potenzieren einer Zahl immer erhalten bleiben (z.B. 6, 36,216,...), die Endziffer von 8 nacheinander 4 2 6 und dann wieder 8 wird (8, 64, 512,4096 ) usw.
Man erkennt, dass sich die Endziffern beim Potenzieren entweder sofort oder nach 2 oder nach 4 Zyklen wiederholen.
Zur Vereinheitlichung ergänzen wir nun in der Tabelle alle Endziffern der Potenzen auf einen 4-er-Durchlauf:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Damit gilt nun folgende Regel:
Ersetze x durch X = x mod 4, y durch Y = y mod 4 und z durch Z = z mod 4. Falls 0 herauskommt, ersetze dies durch 4, damit du die Tabelle gar nicht brauchst.
Nun betrachtest du die Endziffer von [mm] a^X, [/mm] indem du die Endziffer von a X-mal potenzierst (also maximal 4 mal, und immer nur die Endziffer von der Endziffer, s.u.), das selbe mit b und c. Dann multiplizierst du noch die Ergebnisse.
Beispiel:
Endziffer von [mm] 268^{47}*999^{334}*117^{28}=
[/mm]
Endziffer von [mm] 268^{3}*999^{2}*117^{4}= [/mm] (Exponenten mod 4, aber 4 statt 0)
Endziffer von [mm] 8^{3}*9^{2}*7^{4}= [/mm] ... (nur noch Endziffern betrachten)
8*8=4 (von 64) *8=2 (von 32) (nur mit Endziffern Potenzieren)
9*9=1 (von 81)
7*7=9 (von 49) *7 = 3 (von 63) *7= 1 (von 21)
... = Endziffer von 2 * 1 * 1= 2
Das ist die Endziffer des obigen Produktes.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Mo 27.03.2017 | | Autor: | Windbeutel |
Danke Dir für deine Hilfe.
Auf die Idee die Tabelle einfach auf eine 4-er folge zu erweitern bin ich einfach nicht gekommen.
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