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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Di 11.05.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich habe eine peinlich einfache Frage, stelle mich aber gerade etwas naiv an. Welche Substitution muss ich hier durchfuehren um anstatt ueber kartesische ueber Polarkoordinaten zu integrieren [mm] ($B_R(0)\subset\IR^2$):
[/mm]
[mm] $\int_{B_R(0)}f(x_1,x_2)\,dx_1\,dx_2\;=\;\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}?\,d\phi\,dr$
[/mm]
Danke schon einmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Di 11.05.2010 | | Autor: | Denny22 |
Upps, natuerlich mit der Transformationsformel.
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Hallo Denny,
> Hallo an alle,
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> ich habe eine peinlich einfache Frage, stelle mich aber
> gerade etwas naiv an. Welche Substitution muss ich hier
> durchfuehren um anstatt ueber kartesische ueber
> Polarkoordinaten zu integrieren ([mm]B_R(0)\subset\IR^2[/mm]):
>
> [mm]\int_{B_R(0)}f(x_1,x_2)\,dx_1\,dx_2\;=\;\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}?\,d\phi\,dr[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Danke schon einmal.
ok, Transformation in Polarkoordinaten mit $x_1=r\cdot{}\cos(\phi)$ und $x_2=r\cdot{}\sin(\phi)$, $r\in[0,R], \phi\in(0,2\pi]$
Du brauchst für die Transformation im Integral noch die Funktionaldeterminante (auch Jacobideterminante)
Mit den partiellen Ableitungen nach $r,\phi$ für $\vektor{r\cos(\phi)\\r\sin(\phi)$ ist das $\operatorname{det}\pmat{\cos(\phi)&-r\sin(\phi)\\\sin(\phi)&r\cos(\phi)}=r(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi))=\red{r}$
Also wird aus dem Integral $\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}f(r\cos(\phi),r\sin(\phi))\cdot{}\red{r}\,d\phi\,dr$
Schaue dir den Transformationssatz nochmal näher an ...
Gruß
schachuzipus
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