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leere Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Mi 03.11.2010
Autor: cmueller

Hallo zusammen,

ich stehe gerade in einem kleinen Streit mit einem kommilitonen über folgenden sachverhalt:

Sei [mm] \xi [/mm] (A) = [mm] \summe_{n\in A} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2})^{n} [/mm]

was passiert nun, wenn ich A = [mm] \emptyset [/mm] setze?

habe ich [mm] \xi (\emptyset) [/mm] = [mm] \summe_{n \in \emptyset} (\bruch{1}{2})^{n} [/mm] = 0 oder = [mm] \emptyset? [/mm]

meiner ansicht nach mach [mm] \emptyset [/mm] keinen sinn, aber Wikipedia sagt:

Sei I eine (Index-)Menge, A ein kommutatives Monoid. Für jedes i [mm] \in [/mm] I sei ein  [mm] a_{i} \in [/mm] A gegeben. Dann kann [mm] \summe_{i \in I}a_{i} \in [/mm] A zumindest für endliche Indexmengen durch Rekursion definiert werden: Man setzt
[mm] \summe_{i\in \emptyset}:= [/mm] 0 [mm] \in [/mm] A

und:
Nur die leere Menge hat Kardinalität 0, somit folgt:
[mm] 0^{0}=|\{f:\emptyset \to \emptyset \}| [/mm] = 1
Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auf nichts abzubilden. Andererseits gilt für jedes n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \not= [/mm] 0
[mm] 0^{n}=|\{f: n \to \emptyset \}| [/mm] = 0 denn es gibt tatsächlich keine entsprechende Funktion.

So...nun stehen wir beide völlig aufm Schlauch...
was sagen die qualifizierteren Köpfe ?

Liebe Grüße
cmueller






        
Bezug
leere Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Mi 03.11.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

offensichtlich ist [mm] $\xi$ [/mm] eine Abbildung von [mm] $\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] nach $[0,1]$ (sofern $0 [mm] \not\in \IN$, [/mm] nach [0,2] falls [mm] $0\in\IN$). [/mm]
Da macht die Zuordnung [mm] $\xi(\emptyset) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] gar keinen Sinn, da [mm] $\emptyset\not\in [/mm] [0,1]$.

Sinn macht die Zuordnung nur, wenn [mm] $\xi(\emptyset) [/mm] = 0$

Im Übrigen ist das so sogar eine surjektive Abbildung auf [0,1]

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
leere Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:48 Mi 03.11.2010
Autor: cmueller


> Huhu,
>  
> offensichtlich ist [mm]\xi[/mm] eine Abbildung von [mm]\mathcal{P}(\IN)[/mm]
> nach [mm][0,1][/mm] (sofern [mm]0 \not\in \IN[/mm], nach [0,2] falls
> [mm]0\in\IN[/mm]).

Sorry hätte ich dabei schreiben sollen [mm] \xi [/mm] ist eine Abbildung:
[mm] \xi [/mm] : [mm] \mathcal{P}(\IN) \to [/mm] [0, [mm] \infty] [/mm]

Es geht darum, zu zeigen, ob [mm] \xi [/mm] ein Maß für [mm] (\IN, \mathcal{P}(\IN)) [/mm] ist


Daher nach wie vor meine Frage...
oder ändert sich trotzdem nix? weil in [mm] [0,\infty] [/mm] ja [mm] \emptyset [/mm] auch nich drin ist?


>  Da macht die Zuordnung [mm]\xi(\emptyset) = \emptyset[/mm] gar
> keinen Sinn, da [mm]\emptyset\not\in [0,1][/mm].
>  
> Sinn macht die Zuordnung nur, wenn [mm]\xi(\emptyset) = 0[/mm]
>  
> Im Übrigen ist das so sogar eine surjektive Abbildung auf
> [0,1]
>  
> MFG,
>  Gono.


Bezug
                        
Bezug
leere Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 Do 04.11.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

es gilt ja $[0,2] [mm] \subset [0,\infty]$. [/mm]

Bildes [mm] \xi [/mm] nach [0,2] so doch offensichtlich auch nach [mm] [0,\infty] [/mm]

D.h. es bleibt bei [mm] $f(\emptyset) [/mm] = 0$
Die restlichen Maßeigenschaften musst du schon selbst nachprüfen ;-)

MFG,
Gono.

Bezug
        
Bezug
leere Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:22 Do 04.11.2010
Autor: fred97

Es ist üblich zu definieren:

           [mm] $\summe_{k \in \emptyset}^{}a_k:= [/mm] 0$

Damit ist Dein obiges [mm] \xi [/mm] ein tadelloses Maß auf der Potenzmenge von [mm] \IN [/mm] ( [mm] \xi [/mm] heißt Zählmaß), denn

            [mm] \xi(\emptyset)=0 [/mm]

Die  [mm] \sigma [/mm] - Additivität von [mm] \xi [/mm] mußt Du noch zeigen.

FRED

Bezug
                
Bezug
leere Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:04 Do 04.11.2010
Autor: cmueller

Hallo,
ja vielen Dank, die restlichen Eigenschaften waren auch nciht das Problem, nur kam es mir so komisch vor dass eine Zahl hoch die leere Menge überhaupt möglich ist ;)

Danke euch, ich bin überzeugt

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