lebesgue integrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mo 13.02.2006 | | Autor: | sole |
Hi, ich hätte mal eine dumme Frage. Ist eine Funktion genau dann Lebesgue integrierbar wenn sie Lebesgue messbar ist?
Welche Möglichkeiten gibt es noch um die Lebesgue integrierbarkeit einer Funktion f zu zeigen ausser eine Folge von Treppenfunktionen zu finden die Punktweise fast überall gegen f konvergiert?
Vielen Dank schon mal, Sole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Mo 13.02.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ja und nein. Das Lebesgue-Integral einer Funktion ist definiert als das Lebesgue-Maß der Bildmenge dieser Funktion. Nun jetzt kommt es darauf an, ob man zuläßt, das der Integral unendlich sein darf, oder nicht. Im ersten Fall ist die Antwort auf deine Frage ja, im zweiten, dann eben nicht. Außerdem ist man sich gar nicht darüber einig, ob das Lebesgue-Maß unendlich sein darf, oder nicht.
Also: meßbar, mit edlichem Maß - integrierbar; meßbar mit unendlichem Maß - kommt drauf an.
Das kann man sich eigentlich am Besten anhand der Integraldefinition mit Treppenfunktionen klarmachen. Das Integral ist ja das kleinste Maß von einer einfachen (oder Treppenfunktion, die genaue Bezeichnung ist belanglos) Funktion [mm] \alpha, [/mm] die den Integranden [mm]f[/mm] mit [mm] \alpha\ge[/mm] [mm] f [/mm] [mm] \mu[/mm] [mm]-f.ue.[/mm] approximiert. Das ist das so gennante äußere Maß, das die Bildmenge von [mm] f [/mm] von "außen" approximiert. Die Idee ist wie beim Riemann Integral, das Prinzip, die konkrete Vorgehensweise ist anders. Der Sinn ist nämlich, dass man durch das L-I oft eine viel schnellere Konvergenz gegen den Integralwert erreicht, als beim R-I. Außerdem gelten beim R-I wesentlich bessere Konvergenzsätze und somit komme ich zur zweiten Frage.
Zum Beweis der L-integrierbarkeit einer Funktion sind neben der Approximation mit Treppenfunktionen, auch noch die Konvergenzsätze ein gutes Instrument. Besonders kräftig ist der Satz von der Monotonen Konvergenz und ein sehr hilfreiches Werkzeug ist der Lebesgue-Satz über die majorisierte Konvergenz. Das Lema von Fatou kann auch hilfreich sein (eher aus theoretischer Sicht). Viel man lernt man im Grundstudium auch nicht :)
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Di 14.02.2006 | | Autor: | sole |
das hat mir auf jeden Fall weitergeholfen, nochmal danke für die Antwort!
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