l'Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0-} \bruch{tanh(x*sin(x*\alpha))}{x} [/mm] |
Also ich geh einfach mal davon aus dass man das mit l'Hospital machen muss oder? Kann mir da einer einen Ansatz geben? Wär super
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Di 23.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0-} \bruch{tanh(x*sin(x*\alpha))}{x}[/mm]
>
> Also ich geh einfach mal davon aus dass man das mit
> l'Hospital machen muss oder?
warum?
hospital kannst du anwenden, wen bei
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}\bruch{f(x)}{g(x)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}f(x)=\limes_{n\rightarrow\0}g(x)=0
[/mm]
oder
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}f(x)=\limes_{n\rightarrow\0}g(x)=\infty
[/mm]
oder
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}f(x)=\limes_{n\rightarrow\0}g(x)=-\infty
[/mm]
>Kann mir da einer einen Ansatz
> geben? Wär super
> LG
wen das so ist, dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{n\rightarrow\0}\bruch{f´(x)}{g´(x)}
[/mm]
beispiel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}\bruch{sin(x)}{x}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}sin(x)=\limes_{n\rightarrow\0}x=0
[/mm]
also
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}\bruch{sin(x)}{x}=\limes_{n\rightarrow\0}\bruch{cos(x)}{1}=1
[/mm]
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ja ich hab doch hier den fall das zähler und nenner gegen 0 gehen oder nicht ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Di 23.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
warum so unsicher
> ja ich hab doch hier den fall das zähler und nenner gegen 0
> gehen oder nicht ?
ja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Di 23.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi.
Ja,seh ich eigentlich auch so. Dann wende den Satz doch einfach an. Dazu musst du halt mal Zähler u Nenner ableiten (ich gebe zu es sieht schwierig aus mit Ketten-und Produktregel) und mal kucken was dann rauskommt.Falls nötig (falls der Grenzwert dann noch nicht ersichtlich ist) kann man den Satz auch mehrfach hintereinander anwenden.
L G walde
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also die ableitungen hab ich jetzt rausbekommen und würd jetzt auch einen gw von null bekommen aber jetzt macht der rest der aufgabe leider keinen sinn mehr. es ging darum dass man folgende funktion hat
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{tanh(x*sin\alpha x)}{x}, & \mbox {für} x \mbox { <0} \\ \beta*x^{\alpha *x^2}, & \mbox {für} x \mbox{ >0} \end{cases}
[/mm]
Hier soll man ermitteln für welche [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta \in \IR [/mm] f im Nullpunkt stetig ergänzbar ist. Wenn ich dann den GW von oben und von unten gegen 0 bilde habe ich einmal 0 und beta
die weiter aufgabe lautet aber
Untersuchen Sie für welche der so ermittelten [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] die stetig ergänzte funktion im Nullpunkt differenzierbar ist
aber dann hab ich ja keine [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hm, ich glaube so schnell geht es nicht:
[mm] \beta*x^{\alpha*x^2}=\beta*e^{\alpha*x^2*\ln(x)}
[/mm]
und der Grenzwert von [mm] $\alpha*x^2*\ln(x)$ [/mm] für [mm] $x\to [/mm] 0$ muss erst noch (mit l'Hospital) geklärt werden, anschliessend errechnest du dann den GW von [mm] $\beta*e^{\alpha*x^2*\ln(x)}$. [/mm]
Edit:Ich habe als GW aber auch [mm] \beta [/mm] raus,also muss für Stetigkeit eigentlich [mm] \beta=0 [/mm] sein. Hm,kuck halt mal was du bei der Diffbarkeit rausbekommst, die Fkt. hat sich dann halt vereinfacht.
Für Differenzierbarkeit in 0 müssen dann noch zusätzlich die links-/bzw. rechtsseitigen Grenzwerte [mm] \lim_{x\to 0^-}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] existieren und gleich sein.
L G walde
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