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| Aufgabe | gegeben ist die funktion [mm] f(x)=\wurzel{e^{x^{²}-4}} [/mm] ; D=[-2;2]
a)weise nach, dass f die differentialgleichung f'(x)=xf(x) erfüllt
b)mit hilfe dieser differentialgleichung sollen die extremwerte von f ohne verwendung der 2.ableitung berechnet werden.
c)im intervall [-2;0] ist f umkehrbar. warum? wie lautet die umkehrfunktion? |
wie lautet denn die erste ableitung der funktion?
ich hab eben versucht, die funktionsgleichung umzustellen:
[mm] (e^{x^{2}}*e^{4})^{0.5}
[/mm]
dann
[mm] e^{x^{2}-4}
[/mm]
stimmt das schon mal?
wie gehts dann weiter?
und allgemein zur berechnung der umkehrfunktionen...dazu muss ich doch die erste ableitung bilden und schaun, obs größer oder kleiner 0 ist, oder? aber wenns eben nicht durchgehend größer/kleiner ist, brauch ich dann die nullstelle? wie bestimme ich dann das intervall, in dem die funktion umkehrbar ist?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:12 Mi 27.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> wie lautet denn die erste ableitung der funktion?
also
[mm] f(x)=(e^{x^{²}-4})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Zuerst die äußere, dann die innere Ableitung und du erhälst:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}*2*x*(e^{x^{²}-4})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] =x*(e^{x^{²}-4})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
MfG
barsch
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:00 Mi 27.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Ableitung ist falsch! die Kettenregel 2 mal anwenden, oder [mm] e^{(x^2-4)/2} [/mm] schreiben, das ist einfacher.
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:28 Mi 27.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich hatte mich auch schon gewundert, weil mit meiner Ableitung wäre f(x)
auch keine Lösung der DGL [mm] f'(x)=x\cdot [/mm] f(x)
Sorry
MfG
barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 27.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> gegeben ist die funktion [mm]f(x)=\wurzel{e^{x^{²}-4}}[/mm] ;
> D=[-2;2]
> a)weise nach, dass f die differentialgleichung f'(x)=xf(x)
> erfüllt
> b)mit hilfe dieser differentialgleichung sollen die
> extremwerte von f ohne verwendung der 2.ableitung berechnet
> werden.
> c)im intervall [-2;0] ist f umkehrbar. warum? wie lautet
> die umkehrfunktion?
> wie lautet denn die erste ableitung der funktion?
> ich hab eben versucht, die funktionsgleichung
> umzustellen:
> [mm](e^{x^{2}}*e^{4})^{0.5}[/mm]
> dann
> [mm]e^{x^{2}-4}[/mm]
[mm] Kettenregel:(e^{x^{2}}*e^{4})^{0.5}=e^{0,5x^2}*e^2
[/mm]
[mm] f'=e^{0,5x^2}*e^2*(0,5x^2)'=x*e^{0,5x^2}*e^2=x*f(x)
[/mm]
wo ist das 0? da [mm] f(x)\ne0 [/mm] nur bei x=0!
bei x=0 wechselt f' das Vorzeichen von - nach + f vom Fallen in Steigen, also Minimum.
> stimmt das schon mal?
> wie gehts dann weiter?
>
>
>
> und allgemein zur berechnung der umkehrfunktionen...dazu
> muss ich doch die erste ableitung bilden und schaun, obs
> größer oder kleiner 0 ist, oder? aber wenns eben nicht
> durchgehend größer/kleiner ist, brauch ich dann die
> nullstelle? wie bestimme ich dann das intervall, in dem die
> funktion umkehrbar ist?
Zeichne bzw skizzier sie mal, dann siehst dus! wenn f ne waagerechte Tang. hat, hätte die Umkehrfkt ja ne senkrechte.
also kannst du die Umkehrfkt für die x<0 oder für die x>0 finden!
Man sollte sich eh funktionen, die man untersucht immer etwa skizzieren.!!!
Gruss leduart
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