kurvendis. einer Logarithmusf. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Ilcoron |
hallo
da ich in der nächsten mathestunde am montag unsere gruppenergebnisse präsentieren muss, und wir nur teilweise auf lösungen gekommen sind bitte ich um hilfe:
gegeben ist die funktion $f(x)=ln( [mm] \bruch{x-1}{ x^{2}})$
[/mm]
a) für welche $e [mm] \in \IR$ [/mm] ist f definiert?
unsere lösung:
$x [mm] \in \IR_{-1}^{\infty} \{0\}$ [/mm] <----- ist das die koreckte math. formulierung?
gib die asymptoten an.
gibt es für die asyptoten irgendeinen trick wie man die leichter bestimmen kann? es kann doch nicht sein, dass man die aus dem schaubild entnehmen muss und dann nur noch math. nachprüfen kann.
b)
für welche werte $m [mm] \in \IR$ [/mm] gibt es eine tangente mit der steigung m an das schaubild von f?
lösungsversuch:
für $-1<x<0$ und $0<x< [mm] \infty$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\-1} [/mm] f'(x) [mm] \to -\infty$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow\ 0^{-}} [/mm] f'(x) [mm] \to \infty$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow\ 0^{+}} [/mm] f'(x) [mm] \to -\infty$
[/mm]
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ \infty} [/mm] f'(x) [mm] \to [/mm] 0$
c) weise nach, dass f sowohl im intervall $]-1,0[$ als auch im intervall
[mm] $]0,\infty[$ [/mm] eine umkehrfunktion besitzt. gib beide umkehrfunktionen an.
lösungsansatz:
$y=ln( [mm] \bruch{x-1}{ x^{2}})$
[/mm]
[mm] $e^{y}= \bruch{x-1}{ x^{2}}$
[/mm]
$ [mm] x^{2}*e^{y}-x-1=0$
[/mm]
mit CAS:
$ [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{ (\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)e^{y}}{2}$ [/mm] für $-1<x<0$
[mm] $x_{2}= \bruch{ -(\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)e^{y}}{2}$ [/mm] für $0<x< [mm] \infty$
[/mm]
da müsste noch ein schaubild hin aber ich hab keins für den pc aber daran wird es sicher nciht scheitern.
ich hoffe mir kann jemand helfen
danke schon mal im voraus
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Hallo Ilcoron,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> da ich in der nächsten mathestunde am montag unsere
> gruppenergebnisse präsentieren muss, und wir nur teilweise
> auf lösungen gekommen sind bitte ich um hilfe:
> gegeben ist die funktion [mm]f(x)=ln( \bruch{x-1}{ x^{2}})[/mm]
Kann es sein, dass du dich verschrieben hast?
Deine weiteren Ergebnisse lassen vermuten, dass Ihr die Funktion [mm]f(x)=ln( \bruch{x+1}{ x^{2}})[/mm] untersuchen sollt. Denn nur dann stimmen diese Ergebnisse:
> a) für welche [mm]e \in \IR[/mm] ist f definiert?
> unsere lösung:
> [mm]x \in \IR_{-1}^{\infty} \setminus \{0\}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[Dateianhang nicht öffentlich]
> gib die asymptoten an.
Kennt Ihr senkrechte Asymptoten?
Die findet Ihr an den Definitionslücken der Funktion.
> gibt es für die asyptoten irgendeinen trick wie man die
> leichter bestimmen kann? es kann doch nicht sein, dass man
> die aus dem schaubild entnehmen muss und dann nur noch
> math. nachprüfen kann.
weitere Asymptoten kann ich nicht erkennen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Ilcoron |
danke
du hast recht ich meinte x+1
und bei den asymptoten hast du auch recht. ich hatte einen denkfehler in meinen überlegungen
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Hallo,
ich gehe weiter von der Funktion [mm] $f(x)=\ln{\bruch{x+1}{x^2}}$ [/mm] aus.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> b)
> für welche werte [mm]m \in \IR[/mm] gibt es eine tangente mit der
> steigung m an das schaubild von f?
> lösungsversuch:
> für [mm]-1
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\-1} f'(x) \to -\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0^{-}} f'(x) \to \infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0^{+}} f'(x) \to -\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ \infty} f'(x) \to 0[/mm]
dies hilft Euch nicht so richtig.
Man erkennt aber an der Zeichnung (den Ast ganz links bitte ignorieren!), dass die Funktion f'(x) einige Werte ausläßt: f'(x) = m [mm] $\Rightarrow [/mm] $ diese Werte kommen als Tangentensteigungen also nicht infrage.
Das kann man durch Untersuchung der Ableitung f'(x) "leicht" nachweisen. 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Ilcoron |
danke wenn das die ausreichende lösung ist dann hab ich mir aber viele unnötige gedanken gemacht. ich möchte ich mich bedanken
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Ilcoron |
> c) weise nach, dass f sowohl im intervall [mm]]-1,0[[/mm] als auch
> im intervall
> [mm]]0,\infty[[/mm] eine umkehrfunktion besitzt. gib beide
> umkehrfunktionen an.
> lösungsansatz:
> [mm]y=ln( \bruch{x-1}{ x^{2}})[/mm]
> [mm]e^{y}= \bruch{x-1}{ x^{2}}[/mm]
>
> [mm]x^{2}*e^{y}-x-1=0[/mm]
> mit CAS:
> [mm]x_{1} = \bruch{ (\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)e^{y}}{2}[/mm] für
> [mm]-1
> [mm]x_{2}= \bruch{ -(\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)e^{y}}{2}[/mm] für [mm]0
>
> da müsste noch ein schaubild hin aber ich hab keins für den
> pc aber daran wird es sicher nciht scheitern.
> ich hoffe mir kann jemand helfen
> danke schon mal im voraus
>
hierzu habe ich noch vergessen zu sagen, das die umkehrfunktion vor vertauschen der variablen ist. ich muss die danach noch vertaucschen.
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Hallo Ilcoron,
> > c) weise nach, dass f sowohl im intervall [mm]]-1,0[[/mm] als auch
>
> > im intervall
> > [mm]]0,\infty[[/mm] eine umkehrfunktion besitzt. gib beide
> > umkehrfunktionen an.
> > lösungsansatz:
> > [mm]y=ln( \bruch{x-1}{ x^{2}})[/mm]
> > [mm]e^{y}= \bruch{x-1}{ x^{2}}[/mm]
>
> >
> > [mm]x^{2}*e^{y}-x-1=0[/mm]
> > mit CAS:
> > [mm]x_{1} = \bruch{ (\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)e^{y}}{2}[/mm] für
> > [mm]-1
> > [mm]x_{2}= \bruch{ -(\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)e^{y}}{2}[/mm] für
> [mm]0
> >
> > da müsste noch ein schaubild hin aber ich hab keins für
> den
> > pc aber daran wird es sicher nciht scheitern.
> > ich hoffe mir kann jemand helfen
> > danke schon mal im voraus
> >
> hierzu habe ich noch vergessen zu sagen, das die
> umkehrfunktion vor vertauschen der variablen ist. ich muss
> die danach noch vertaucschen.
und natürlich solltest du nun die richtige Funktion betrachten!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 05.12.2004 | | Autor: | Ilcoron |
sorry ich meinte die funktion:
[mm]y=ln( \bruch{x+1}{ x^{2}})[/mm]
[mm]e^{y}= \bruch{x+1}{ x^{2}}[/mm]
[mm]x^{2}*e^{y}-x-1=0[/mm]
mit CAS:
[mm]x_{1} = \bruch{ (\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)e^{y}}{2}[/mm] für
[mm]-1
[mm]x_{2}= \bruch{ -(\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)e^{y}}{2}[/mm]
für
[mm]0
nach vertauschen der variablen:
[mm]f_{1}(x) = \bruch{ (\wurzel[]{4*e^{x}+1}+1)e^{x}}{2}[/mm] für
[mm]-1
[mm]f_{2}(x)= \bruch{ -(\wurzel[]{4*e^{x}+1}+1)e^{x}}{2}[/mm]
für
[mm]0
ist das die korreckte form?
wenn man sich die beiden schaubilder zeichnet sieht nur eins wie die umkehrfunktion aus, nämlich die für $0<y< [mm] \infty$ [/mm] . der anderen kann ich auch im definitionsbereich keine ähnlichkeit abgewinnen.
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Hallo!
> sorry ich meinte die funktion:
> [mm]y=ln( \bruch{x+1}{ x^{2}})[/mm]
> [mm]e^{y}= \bruch{x+1}{ x^{2}}[/mm]
>
>
> [mm]x^{2}*e^{y}-x-1=0[/mm]
> mit CAS:
> [mm]x_{1} = \bruch{ (\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)e^{y}}{2}[/mm] für
>
> [mm]-1
> [mm]x_{2}= \bruch{ -(\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)e^{y}}{2}[/mm]
> für
> [mm]0
Hm. Bei mir ist die Schule schon ein wenig her, deshalb weiß ich nicht, was Du mit CAS meinst. Wenn ich die pq-Formel anwende, bekomme ich jedenfalls
[mm]x_{1/2}= \bruch{ (\pm\wurzel[]{4*e^{y}+1}+1)}{2e^{y}}[/mm]
Also zum einen ist das Vorzeichen nur vor der Wurzel, und zum anderen steht [mm] $e^y$ [/mm] im Nenner statt im Zähler. Löst das Deine Probleme?
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Ilcoron |
hi
mit cas bedeutet das ich das mit einem computer algebra system ausgerechnet hab
ich weiß nciht genau was man bei einer umkehr funktion alles beachten muss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Di 07.12.2004 | | Autor: | Brigitte |
> hi
> mit cas bedeutet das ich das mit einem computer algebra
> system ausgerechnet hab
Aha. Die Abkürzung war mir leider nicht geläufig ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Hm. Dann weiß ich auch nicht, was passiert ist. Ich weiß nur, dass man möglichst lange "zu Fuß" rechnen sollte, wenn man möglichst viel verstehen will. Die CAS-Lösung kann meiner Ansicht nach nicht richtig sein (außer Du hast Dich vielleicht vertippt). Denn das Vorzeichen ändert sich ja immer nur vor der Wurzel und nicht vor dem ganzen Ausdruck. Es gibt viele Möglichkeiten, wo sich ein Fehler eingeschlichen haben könnte. Vielleicht rechnest Du es auch einfach mal "zu Fuß". So lang ist die Rechnung nicht.
> ich weiß nciht genau was man bei einer umkehr funktion
> alles beachten muss
Nichts Besonderes jedenfalls. Natürlich muss man mit Definitions- und Wertebereich etwas aufpassen, aber das ergibt sich meist aus der Rechnung.
Viele Grüße
Brigitte
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