kubischer periodischer Spline < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:36 Do 30.11.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Gesucht ist der kubische periodische Spline s auf [0,1], der die Funktion [mm] f(x)=e^x [/mm] in den Knoten [mm] x_j=\frac{j}{4} [/mm] (j=0,...,4) interpoliert.
Gehen Sie hierbei von folgendem Ansatz aus:
s(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n} c_k \psi_k(x)
[/mm]
wobei [mm] \psi_k [/mm] die normierten kubischen B-Splines bezüglich der geg. Knoten bezeichnet. Bestimmen Sie die [mm] c_k. [/mm] Geben Sie hierzu das betreffende LGS an. |
Hallo,
bin mit den Splines noch nicht so ganz familiar... hab zu der aufgabe auch noch ein paar fragen...
man sucht also s [mm] \in S(3,\Delta5) [/mm] - und damit das LGS lösbar wird hat man diese beiden zusatzbedingungen des periodischen splines gegeben:
s''(a) = s''(b), s'(a)=s'(b).
die y werte bekomm ich ja wenn ich die gegebenen St+tzstellen x in [mm] f(x)=e^x [/mm] einsetze, d.h. damit gilt
[mm] y_j [/mm] = [mm] s(x_j) [/mm] = [mm] \summe_{k=-3}^{n-1=4} c_k N_k^3(x_j).
[/mm]
hab ich hier richtig summiert, also muss es bei k=-3 anfangen?
und dann häng ich noch an den [mm] N_k^3 (x_j). [/mm] Wie kann ich diese Werte berechnen, geht das nur über die konfuse rekursiv-definition oder gibt es da irgendwelche tricks?
und hat die Koeff.matrix von dem LGS dann folgende form:
[mm] \pmat{ N_{-3}^3''(x_0) & N_{-2}^3''(x_0) & N_{-1}^3''(x_0)&0&0\\ N_{-3}^3(x_0) & N_{-2}^3(x_0) & N_{-1}^3(x_0)&0&0\\ 0& N_{-2}^3(x_0) & N_{-1}^3(x_0) & N_{0}^3(x_0)&0\\0&0&N_{-1}^3(x_0) & N_{0}^3(x_0) & N_{1}^3(x_0)\\0&0&N_{-1}^3'(x_0) & N_{0}^3'(x_0) & N_{1}^3'(x_0)}
[/mm]
viele grüße
Riley
PS: fragen zu dieser aufgabe auch hier gefunden:
![[]](/images/popup.gif) mathe-board
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Riley |
Hab gerade rausgefunden, dass die Matrix die ich gepostet hab nicht wirklich stimmen kann. Muss ja 7x7 sein.
Laut einem Lehrbuch gilt für äquidistante stützstellen, dass die Matrix folgende form hat:
A= [mm] \frac{1}{6}\pmat{ \frac{-3}{h} & 0 & \frac{3}{h}&0 & ... \\ \frac{6}{h^2} & \frac{-12}{h^2} & \frac{6}{h^2}&0&... \\ 1 & 4 & 1&0&...\\ 0 & ... & ...&... \\ 0 & 0 & 1 & 4 &1}
[/mm]
und die rechte Seite b=(0,0, [mm] f(x_0),...,f(x_{n-1}),f(x_0))^T
[/mm]
In dem Buch geht ist aber eine strengere Bedingung gestellt:
(i) [mm] s(x_j) [/mm] = [mm] f(x_j) [/mm] und (ii) [mm] s^{(k)}(a) [/mm] = [mm] s^{(k)}(b)
[/mm]
in der aufgabe hier ja aber nur s''(a)=s''(b) und s'(a)=s'(b).
Muss ich die Matrix dann nochmal umändern?
und wie kommt man auf den b-vektor? also warum sind die ersten beiden einträge Null und warum taucht [mm] f(x_0) [/mm] zweimal auf?
Viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 04.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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