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| Aufgabe | | Gebe für einen dreimaligen Münzwurf zwei Zufallsgrößen an, die unkorreliert sind und nicht stochastisch unabhängig. |
Hallo ich hab da mal etwas rumgetüftelt.
es gilt Cov(X,Y) = E((X-E(X))*(Y-E(Y))
wenn Cov(X,Y)=0 gelten soll, gilt auch
V(X+Y)= V(X)+V(Y)
und E(X*Y)=E(X)*E(Y)
wie baue ich das aber jetzt von hinten auf, dass ich zwei ZUfallsgrößen habe, die letztlich Cov(X,Y)=0 ergeben?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 So 28.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
hier ein Tipp: Berechne mal [mm] $\operatorname{Cov}[X+Y,X-Y]$ [/mm] fuer zwei Zufallsvariablen $X,Y_$.
vg Luis
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Mh, ich kann nicht mal normale Kovarianzen berechnen.
z.B. X= Kopf im ersten Wurf
Y= Zahl im dritten Wurf und Kopf im zweiten Wurf
dann ist P(X) = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
und P(Y) = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
die Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig, da P(X)*P(Y) [mm] \not= [/mm] P(X [mm] \cap [/mm] Y)
so dann brauche ich noch den Erwartungswert
E(X)= [mm] \bruch{1}{8} [/mm] *4 = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
E(Y)= [mm] \bruch{1}{8} [/mm] *2 = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
richtig?
so, wenn ich das jetzt in die Formel für Kovarianz einsetze dann habe ich:
Cov(X,Y)= E((X-E(X)*(Y-E(Y))
= E((4- [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] * ( 2- [mm] \bruch{1}{4})) [/mm] (ist X=4 und Y=2 ?)
= E(3 [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 1 [mm] \bruch{3}{4})
[/mm]
= E (6 [mm] \bruch{1}{8})
[/mm]
= 6 [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
???? ist das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 So 28.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Mh, ich kann nicht mal normale Kovarianzen berechnen.
Das wird ja hoechste Zeit, siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier (Lineare Transformation).
>
> z.B. X= Kopf im ersten Wurf
> Y= Zahl im dritten Wurf und Kopf im zweiten Wurf
>
> dann ist P(X) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> und P(Y) = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> die Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig, da
> P(X)*P(Y) [mm]\not=[/mm] P(X [mm]\cap[/mm] Y)
Verstehe ich nicht, [mm] $X\cap [/mm] Y$ ist das Ereignis "Kopf im ersten und Kopf im zweiten und Zahl im dritten Wurf". Die Wsk hierfuer ist $1/8=P(X)*P(Y)$. Ich fuerchte, damit werden deine weiteren Rechnungen obsolet.
vg Luis
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mist stimmt, die sind doch stochastisch unabhängig. na gut, aber es geht ja um den Rechenweg der Kovarianz im Allgemeinen. Wenn ich also mit den Werten weiter rechne müsste was rauskommen? (Ich habe ja irgendwie 6 [mm] \bruch{1}{8} [/mm] raus) ist das dann richtig?
Vielleicht könnten Sie/ könntest du mir für mein Beispiel den richtigen Rechenweg mal detailliert aufschreiben? (ist ja auch nicht die eigentliche Aufgabe und damit nicht zu viel verraten)
Leider hilft mir Wikipedia auch nicht weiter. Formeln habe ich genung, aber nicht ein Anwendungsbeispiel.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Mo 29.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Formeln habe ich genung,
Solche Bemerkungen finde ich ausgesprochen unpassend
und bremsen meine Motivation kolossal. ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
vg Luis
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ei das war so gar nicht gemeint. wir haben nur in unserer veranstaltung das problem, dass wir ausschließlich formeln bekommen und die anwendung (auf einfachem niveau) ständig ausbleibt...
ich meinte das echt nicht böse. nur bei so viel formeln hat man irgendwann das gefühl, dass man zu dumm für alles ist. auf dauer ist das nicht so schön...
tut mir leid!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mo 29.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> ei das war so gar nicht gemeint.
> tut mir leid!
Gut, diese Einlassung stimmt mich milder. 
Mein Tipp zeigt: $X+Y$ und $X-Y$ sind unkorreliert.
Suche wie folgt:
1) Definiere zwei Zufallsvariablen $X,Y_$, fuer die $U=X+Y$ und $V=X-Y$ nicht stochastisch unabhaengig sind. Ich habe da zwei im Sinn, aber ich will sie noch nicht nennen. Vielleicht findest du ja selber welche. Bedenke aber: Du musst nachweisen, dass $U,V$ nicht stochastisch unabhaengig sind.
2) Wenn dir Formeln zu viel Unbehagen bereiten, so weise zu Fuss nach, dass die in 1) gefundenen Variablen unkorreliert sind.
vg Luis
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Mh... ich muss da leider noch mehr nachfragen.
was ist den U und ist V die Varianz? Aber für die Berechnung der Varianz brauch ich doch auch schon die Kovarianz, von der ich nicht weiß, wie ich die berechne.
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov(X, Y )
oder sind U und V einfach nur Variablen?
Also wenn X= Anzahl von K im 1. Wurf
und Y= Anzahl der Folge ZZ
dann habe ich für X=4
Y=3
[mm] P(X)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] P(Y)=\bruch{3}{8}
[/mm]
U= 7 und V= 1
aber so einfach ist das wohl nicht..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 29.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Ich will dich laenger zappeln lassen. Es sei $X_$ die Anzahl der Koepfe
im ersten und zweiten und $Y_$ die Anzahl der Koepfe
im zweiten und dritten Wurf. Betrachte die *Variablen* $U=X+Y$ und
$V=X-Y$. Die folgende Tabelle zeigt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(U=u,V=v)=P(X+Y=u,X-Y=v)$ von $(U,V)_$:
[mm] \begin{tabular} {@{}cccccc@{}}
& \multicolumn{5}{c}{u=x+y}\\
v=x-y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
-1& 0 & 1/8 & 0 & 1/8 & 0 \\
0 & 1/8 & 0 & 2/8 & 0 & 1/8 \\
1 & 0 & 1/8 & 0 & 1/8 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
Diese Tabelle besagt beispielsweise [mm] $P(U=2,V=0)=P(\{(0,1,0),(1,0,1)\})=2/8$.
[/mm]
Ueberzeuge dich nun davon, dass $U_$ und $V_$ nicht unabhaengig, aber
unkorreliert sind.
vg Luis
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oh ich bin so stolz auf mich. ich hab tatsächlich die Tabelle verstanden... hätte ich nicht von mir gedacht. Vielen Dank.
So für die stochastische Abhängigkeit muss ich dann Folgendes nachweisen:
P(U)*P(V) [mm] \not= [/mm] P(U [mm] \cap [/mm] V)
also z.B.
P(U=1)*P(V=0) [mm] \not= [/mm] P(U=1 [mm] \cap [/mm] V=0)
da 3/8*1/8 [mm] \not= [/mm] 0
(oder muss ich P(X)*P(Y) [mm] \not= [/mm] P(X [mm] \cap [/mm] Y) nachweisen. also P(X=2)*P(Y=0) [mm] \not= [/mm] P(X=2 [mm] \cap [/mm] Y=0), da 2/8*2/8 [mm] \not= [/mm] 0)
richtig? Muss man das für alle Varianten von U und V (bzwX und Y) rechnen und erst wenn alle stochastisch abhängig sind ist auch U und V stochastisch abhängig? So bei dem unkorreliert-Nachweis wird's jetzt was schwerer. Aber ich hab mich mal versucht.
Cov(U,V)=E(U-E(U))*E(V-E(V))
E(U)=0*1/8*1*3/8+2*2/8+3*1/8+4*1/8=1*3/4
E(V)=0*4/8+(-1)*2/8+1*2/8=0
E(U-1*3/4)= 0*1/8-1*3/4+ 1*3/8-1*3/4... (wie oben nur immer -1*3/4) =-7
E(V-0)=0
also ist Cov(U,V)=0*-7=0 und damit unkorreliert
richtig?!? Bitte bitte...
VIelen Dank noch mal für die Hilfe!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 01.07.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich muss dich leider enttaeuschen. Hier die erweiterte Tabelle:
[mm] \begin{tabular} {@{}lrrrrrr@{}} \hline & \multicolumn{5}{c}{u} & \\ v& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & Summe \\ \hline -1 & 0 & 0.125 & 0 & 0.125 & 0 & 0.25 \\ 0 & 0.125 & 0 & 0.25 & 0 & 0.125 & 0.5 \\ 1 & 0 & 0.125 & 0 & 0.125 & 0 & 0.25 \\ \hline Summe& 0.125 & 0.25 & 0.25 & 0.25 & 0.125 & 1 \\ \hline\end{tabular}
[/mm]
Folglich gilt $P(U=1)=1/4$, $P(U=4)=1/8$, $P(V=0)=1/2$ usw. Also
ist [mm] $P(U=1\cap V=0)=0\ne1/4\cdot [/mm] 1/2= P(U=1)P(V=0)$.
Unabhaengigkeit bedeutet, dass gilt [mm] $P(U=u\cap [/mm] V=v)=P(U=u)P(V=v)$ fuer *alle* $u,v_$. Anderenfalls sind $U,V_$ abhaengig. Um zu zeigen, dass $U,V_$ unabhaengig sind, musst du also ein Paar $(u,v)_$ finden, fuer das die obige Gleichung nicht gilt. Und genau das hast du gefunden.
Bitte rechne noch einmal nach mit den neuen Erkenntnissen (*Ich* erhalte
[mm] $\operatorname{E}[U]=2$ [/mm] und [mm] $\operatorname{E}[V]=0$)
[/mm]
vg Luis
P.S. Die folgende Formel (Entschuldigung ) kann die Rechnung sehr erleichtern:
[mm] $$\operatorname{Cov}[U,V]=\operatorname{E}[UV]-\operatorname{E}[U]\operatorname{E}[V]\,.$$
[/mm]
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ach je, wer hat stochastik eigentlich erfunden?
nun denn, ich dachte man könnte P(U=1) einfach ablesen aus den Möglichkeiten von Omega
(kkk,kkz,kzk,zkk,kzz,zkz,zzk,zzz)
und da gibt es 3 bei denen nur ein k vorkommt. daher habe ich auf P(U=1) auf 3/8 geschlossen.
aber jetzt zum rest:
also ich hab jetzt für E(U)=2 und für E(V)=0
und damit für E(U-E(U))*E(V-E(V))=-8*0 raus also Cov(U,V)=0
Vielen Dank für alles!
lg,
Stochastikniete
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Mi 01.07.2009 | | Autor: | luis52 |
> Vielen Dank für alles!
Puh! Gerne.
vg Luis
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