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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo bei einer Quadrikaufgabe soll am Schluss noch eine Koordinatentransormation gemacht werden, die Quadrik auf die Normalform zu bringen war ok, aber wie das mit der Koordinatentransformation gemeint ist weiss ich nicht, wie das geht!
Aufgabe:
Gegeben sei die folgende Quadrik im [mm] \IR^{2}:
[/mm]
Q: [mm] 5x_{1}^{2}-6\wurzel{3}x_{1}x_{2} -x_{2}^{2} -4x_{1} -4\wurzel{3}x_{2} [/mm] +4 = 0
Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik und geben Sie auch die Koordinatentransformation an.
Also ich komme jetzt auf die Transformationsmatrix T [mm] =\bruch{1}{2} \pmat{ -\wurzel{3} & 1 \\ 1 & \wurzel{3}} [/mm]
mit der Diagonalmatrix: D = [mm] \pmat{ 8 & 0 \\ 0 & -4 }
[/mm]
und die Normalform ist [mm] z_{1}^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}z_{2}^{2} [/mm] +1 = 0
das ist auch alles richtig, aber jetzt muss ich noch die Koordinatentransformation angeben, was muss ich dazu machen? bzw. was ist die Überlegung die man machen muss?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Fr 25.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Surfer,
(fred ist's mal wieder)
Die Koordinatentransformation hast Du doch mit Deiner Matrix T.
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:02 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi,
also in der Lösung steht folgendes:
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\pmat{ -\wurzel{3} & 1 \\ 1 & \wurzel{3} }\vektor{z_{1} \\ z_{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\pmat{ -\wurzel{3} & 1 \\ 1 & \wurzel{3} }\vektor{z_{1} \\ z_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{-1 \\ -\wurzel{3}}
[/mm]
oder alternativ:
[mm] \vektor{z_{1} \\ z_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\pmat{ -\wurzel{3} & 1 \\ 1 & \wurzel{3} }\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
?
also hier steckt ja jedes mal die Transformationsmatrix drin, aber wie kommt man dann auf die anzen schreibweisen hier? da stecken doch auch noch Verschiebungen drin oder?
lg Surfer
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> Hi,
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> also in der Lösung steht folgendes:
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> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\pmat{ -\wurzel{3} & 1 \\ 1 & \wurzel{3} }\vektor{z_{1} \\ z_{2}-1}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}\pmat{ -\wurzel{3} & 1 \\ 1 & \wurzel{3} }\vektor{z_{1} \\ z_{2}}[/mm]
> + [mm]\vektor{-1 \\ -\wurzel{3}}[/mm]
>
> oder alternativ:
> [mm]\vektor{z_{1} \\ z_{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\pmat{ -\wurzel{3} & 1 \\ 1 & \wurzel{3} }\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
> + [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> ?
> also hier steckt ja jedes mal die Transformationsmatrix
> drin, aber wie kommt man dann auf die anzen schreibweisen
> hier? da stecken doch auch noch Verschiebungen drin oder?
Hallo,
um Dir hier weiterzuhelfen, wäre es ganz sinnig, wenn man etwas mehr davon sehen könnte, was Du bisher gerechnet hast.
Was ist z.B. Dein Vektor [mm] \vektor{z_1, z_2} [/mm] ? Und da Du einen Vektor x und einen Vektor z hast, vermute ich fast, daß es zwischendurch auch einen Vektor y gab.
Wie sieht der aus?
Wenn Du das berichtest, wird man Dir helfen können - ohne alles selbst zu rechnen...
Prinzipell kannst Du y in Abhängigkeit v. y schreiben, dann y in Abhängigkeit von x, und damit hast Du dann z in Abhängigkeit von x.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Fr 01.08.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi, ich hab jetzt hier nochmal die Aufgabe mit Lösungsweg, wie ich auf die euklidische Normalform komme ist alles klar! Unklar ist der letzte Teil, wie ich dies als Transformation darstelle!
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg Surfer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Surfer,
> Hi, ich hab jetzt hier nochmal die Aufgabe mit Lösungsweg,
> wie ich auf die euklidische Normalform komme ist alles
> klar! Unklar ist der letzte Teil, wie ich dies als
> Transformation darstelle!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Das steht in der Lösung nicht explizit drin.
Da wurde gesetzt:
[mm]z_{1}=y_{1}[/mm]
[mm]z_{2}=y_{2}+1[/mm]
[mm]\gdw \pmat{z_{1} \\ z_{2}}=\pmat{y_{1} \\ y_{2}}+\pmat{0 \\ 1}[/mm]
Oder mit
[mm]z=\pmat{z_{1} \\ z_{2}}[/mm]
[mm]y=\pmat{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
[mm]\gdw z=y+\pmat{0 \\ 1}[/mm]
>
> lg Surfer
Gruß
MathePower
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