konvexe funktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Do 07.01.2010 | | Autor: | luna90 |
| Aufgabe | Seien n [mm] \in [/mm] N, [mm] x_1, x_2, [/mm] . . . , [mm] x_n \in [/mm] [a, b] und [mm] \lambda_1, \lambda_2, [/mm] . . . , [mm] \lambda_n [/mm] > 0 mit
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i=1 [/mm] . Zeigen Sie:
[mm] f(\lambda_1x_1 [/mm] + [mm] \lambda_2x_2 [/mm] + · · · [mm] +\lambda_nx_n) \le \summe_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_i) [/mm] |
Hallo,
also ich hab diese Induktion gemacht und das ist auch alles ganz schön. Doch ich hab irgendwo glaube gelesen dass man den Induktionsanfang für n=2 macht wegen der Definition von Konvex. für n=1 funktioniert der IA eigentlich sehr gut und ich vertseh nicht so recht warum ich das dann erst für n=2 machen sollte. Vielleicht muss ich das ja auch gar nicht.
Es wäre toll, wenn mir einer das erklären könnte.
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Um zu sehen, was an deiner Induktion falsch ist, musst du sie zumindes skizzieren.
dass man mit dem Induktionsanfang f(1*x1)=1*f(x1) nicht gut was zeigen kann, sollte klar sein, da er ja für jede beliebige fkt gilt. Du solltest aufgaben ganz aufschreiben, so muss ich annehmen, was du über f weisst. f konvex oder was genau?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 07.01.2010 | | Autor: | luna90 |
entschuldigung, das hab ich wirklich vergessen:
also ja f: [a,b] [mm] \to [/mm] R ist konvex.
das tut mir wirklich leid.
und ja bei meinem IA komm ich dann auf [mm] f(x_1) \le f(x_1, [/mm] was ja keine falsche aussage ist, weil [mm] f(x_1)=f(x_1) [/mm] ja mit drin ist in [mm] \le
[/mm]
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist dir klar, dass f(x1)=f(x1) keine Eigenschaft von f ausnutzt?
Wie laeuft denn deine Induktion? Dann kann man wahrscheinlich den Fehler zeigen, wo du brauchst, dass es für 2 richtig ist.
probier doch mal DEINEn Beweis von n=1 nach n=2.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Do 07.01.2010 | | Autor: | luna90 |
also ich nutze aus dass f( (1- [mm] \lambda)x_1 [/mm] + [mm] \lambda x_2) \le (1-\lambda)f(x_1) [/mm] + [mm] \lambda f(x_2)
[/mm]
und dann noch dass [mm] \summe_{i=1}^{n+1}=1 [/mm] nach IV ist und dann kann ich die IV für [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}f(x_i) [/mm] anwenden kann.
ich seh aber irgendwie immer noch nicht warum ich n=2 brauche. weil die eigenschaft f( (1- [mm] \lambda)x_1 [/mm] + [mm] \lambda x_2) \le (1-\lambda)f(x_1) [/mm] + [mm] \lambda f(x_2) [/mm] die für n=2 ist? ich dachte ich darf die vorraussetzen da wir definiert haben. obwohl das natürlich denn zusatz man braucht n=2 nach definition erklären würde...
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
deinen letzten Schritt sehe ich nicht wirklich, denn
für
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}f(x_i) [/mm] $ gilt ja nicht $ [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}=1 [/mm] $
wie gehst du also da vor, wenn dus nicht fuer 2 gezeigt hast?
Wobei n=2 natürlich sehr leicht aus der Vors. folgt) aber du musst es im letzten Schritt benutzen, etwa indem du die ersten n [mm] x_i [/mm] zu einem zusammenfasst, oder wa genau hast du gemacht?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> gilt ja nicht
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}=1[/mm]
Doch: [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}=\bruch{1}{1-\lambda_{n+1}}\summe_{i=1}^{n}\lambda_i=\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}\lambda_i}\summe_{i=1}^{n}\lambda_i=1[/mm], wobei die vorletzte Gleichheit aus der Voraussetzung [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\lambda_i=1[/mm] folgt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Do 07.01.2010 | | Autor: | luna90 |
ja ich hab da dann sowas [mm] (1-\lambda_{n+1})f(\summe_{i=1}^{n}\bruch{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}x_i) [/mm] + [mm] \lambda f(x_{n+1}) [/mm] für das ich halt f ist konvex angewendet habe und nicht die VR für n=2 , was ja ansich dasselbe ist. deshalb sehe ich ja nicht ein wozu ich n=2 brauche, wenn ich die Definition habe. deshalb würde ich spontan tobit09 zustimmen.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ja ich hab da dann sowas
> [mm](1-\lambda_{n+1})f(\summe_{i=1}^{n}\bruch{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}x_i)[/mm]
> + [mm]\lambda_{n+1} f(x_{n+1})[/mm] für das ich halt f ist konvex
ich finde hier hast du ja [mm] f(\summe_{i=1}^{n}\bruch{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}x_i)=f(x_1') [/mm] gesetzt und [mm] f(x_{n+1})=f(x_2')
[/mm]
und dann die Vors für 2 benutzt, auch wenn dus erst hier sagst.
aber ein grosser Unterschied ist das natürlich nicht mehr.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
aus meiner Sicht spricht nichts gegen einen Induktionsanfang bei n=1. Das hat den Vorteil, dass man sich sparen kann, den (wenn auch unmittelbar aus der Definition von Konvexität folgenden) Fall n=2 gesondert zu betrachten (den Fall n=1 muss man ja sowieso behandeln). Im Induktionsschritt benutzt man dann an der Stelle, die man mit dem Fall n=2 erledigen könnte, einfach die Definition der Konvexität von f.
Viele Grüße
Tobias
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