konvexe Hülle < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Di 09.12.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
| Aufgabe | Seien [mm] p_0,...,p_k \in \IR^n [/mm] affin unabhängige Punkte. Zeigen Sie, dass gilt [mm] \overline{p_0...p_k}\subseteq \Pi(p_0,...,p_k).
[/mm]
Für welche k gilt hier Gleichheit? Begründen Sie dies. |
Hallo,
wie haben die Definitionen:
[mm] \overline{p_0...p_k}:=conv(p_0,...,p_k)
[/mm]
conv(T): { [mm] \summe_{i=0}^{k} \lambda_i p_i [/mm] | [mm] k\in \IN, p_i \in [/mm] T, [mm] \lambda_i \in \IR_{\ge0, }\summe_{i=0}^{k} \lambda_i [/mm] = 1}
[mm] \Pi(p_0,...,p_k)= [/mm] { [mm] p_0 [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_i (p_i-p_0) [/mm] | [mm] 0\le \lambda_i \le [/mm] 1 }
Nach ein paar Umformungen komme ich zu dem Schluss, dass immer Gleichheit gilt. Kann das sein?
Vielen Dank!
xx_xx_xx
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Di 09.12.2014 | | Autor: | hippias |
Mit den von Dir angegebenen Definition gilt stets Gleichheit. Jedoch scheinst Du eine der Definitionen falsch wiedergegeben zu haben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Di 09.12.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Hallo,
ich habe nochmal verglichen und genau so stehen die Definitionen in meinem Skript.
Wo liegt denn der Fehler?
Danke!
Viele Grüße
xx_xx_xx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Di 09.12.2014 | | Autor: | hippias |
Die Bedingungen [mm] "$\lambda_{i}\in \IR_{\geq 0}$ [/mm] mit [mm] $\sum\lambda_{i}=1$" [/mm] und [mm] "$0\leq\lambda_{i}\leq [/mm] 1$ mit [mm] $\sum\lambda_{i}=1$" [/mm] sind aequivalent. Die affine Huelle ist anders definiert. Siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Di 09.12.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Betrachte ich denn nicht die konvexe Hülle?
Viele Grüße
xx_xx_xx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Di 09.12.2014 | | Autor: | hippias |
Ja, das tust Du, aber scheinbar ich nicht! Ich habe mich geirrt und die Aufgabenstellung falsch gelesen. Ich hoffe Du wurdest durch meinen Irrtum nicht zu sehr verwirrt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Di 09.12.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Nein, kein Problem! :)
Aber dann gilt doch tatsächlich Gleichheit für alle k oder?
Vielen Dank!
Viele Grüße!
xx_xx_xx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Nein, kein Problem! :)
> Aber dann gilt doch tatsächlich Gleichheit für alle k
> oder?
Nein, aber das habe ich Dir doch schon gesagt !
FRED
>
> Vielen Dank!
> Viele Grüße!
> xx_xx_xx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich bin anderer Meinung als mein Vorredner.
Gehen wir in den [mm] \IR^2 [/mm] und nehmen wir k=2, [mm] p_0=(0,0), p_1=(1,0) [/mm] und [mm] p_2=(0,1).
[/mm]
Dann ist die konvexe Hülle dieser 3 Punkte das Dreieck mit den Ecken [mm] p_0,p_1 [/mm] und [mm] p_2.
[/mm]
Wählt man [mm] \lambda_1= \lambda_2=1, [/mm] so sieht man:
$(1,1) [mm] \in \Pi(p_0,p_1,p_2)$
[/mm]
Es ist aber
$(1,1) [mm] \notin conv(p_0,p_1,p_2).$
[/mm]
FRED
>
>
> Vielen Dank!
> xx_xx_xx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Di 09.12.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Hallo,
aber die Summe der [mm] \lambda_i [/mm] soll doch 1 sein. Dann kann ich doch gar nicht [mm] \lambda_1=\lambda_2=1 [/mm] wählen, oder?
Viele Grüße
xx_xx_xx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> aber die Summe der [mm]\lambda_i[/mm] soll doch 1 sein. Dann kann
> ich doch gar nicht [mm]\lambda_1=\lambda_2=1[/mm] wählen, oder?
In
$ [mm] \Pi(p_0,...,p_k)= \{ p_0 + \summe_{i=1}^{k} \lambda_i (p_i-p_0) : 0\le \lambda_i \le 1 \} [/mm] $
schon !
FRED
>
> Viele Grüße
> xx_xx_xx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 09.12.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Aber ich kann das umformen zu:
[mm] \Pi(p_0,...,p_k) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{k} \lambda_i p_i [/mm] mit [mm] \lambda_0=1-\summe_{i=1}^{k} \lambda_i [/mm] wobei gelten muss: [mm] \lambda_0=1 [/mm] und [mm] 0\le \lambda_i\le1 [/mm] für alle i=1,2,3...
dann folgt doch, dass [mm] \summe_{i=1}^{k}\lambda_i [/mm] =0 und somit [mm] \lambda_i=0 [/mm] für alle i=1,2,3...
Dann würde doch aber gelten: [mm] \Pi(p_0,...,p_k)\subseteq\overline{p_0...p_k}
[/mm]
Ich finde meinen Denkfehler leider nicht...
Wäre toll wenn du mir nochmal auf die Sprünge helfen könntest...
Vielen Dank!
Viele Grüße
xx_xx_xx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aber ich kann das umformen zu:
>
> [mm]\Pi(p_0,...,p_k)[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{k} \lambda_i p_i[/mm] mit
> [mm]\lambda_0=1-\summe_{i=1}^{k} \lambda_i[/mm] wobei gelten muss:
> [mm]\lambda_0=1[/mm]
Wie kommst Du darauf ???
> und [mm]0\le \lambda_i\le1[/mm] für alle i=1,2,3...
> dann folgt doch, dass [mm]\summe_{i=1}^{k}\lambda_i[/mm] =0
Hä ?
> und
> somit [mm]\lambda_i=0[/mm] für alle i=1,2,3...
Was ist los ?
FRED
>
> Dann würde doch aber gelten:
> [mm]\Pi(p_0,...,p_k)\subseteq\overline{p_0...p_k}[/mm]
>
>
> Ich finde meinen Denkfehler leider nicht...
> Wäre toll wenn du mir nochmal auf die Sprünge helfen
> könntest...
>
> Vielen Dank!
> Viele Grüße
> xx_xx_xx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Di 09.12.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Habe meinen Fehler gefunden! Hat sich erledigt!
Trotzdem vielen Dank!!
Viele Grüße!
xx_xx_xx
|
|
|
|
