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| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] sei konvex.
1. Seien [mm] n\in\IN, x_1,x_2,...,x_n\in [/mm] [a,b] und [mm] \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n [/mm] >0 mit [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i=1. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+...+\lambda_nx_n)\le \summe_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i).
[/mm]
Hinweis: Induktion über n.
2. Seien [mm] x,x_1,x_2\in[a,b] [/mm] und [mm] x_1
[mm] \bruch{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\le\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le\bruch{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}.
[/mm]
3. Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt [mm] x\in(a,b) [/mm] eine rechts- und eine linksseitige Abbildung besitzt. Folgern Sie daraus, dass f auf (a,b) stetig ist. Bestätigen Sie durch ein Beispiel, dass f auf [a,b] nicht stetig zu sein braucht.
Hinweis: Aus 2. kann man folgern, dass für jedes [mm] x_0\in(a,b) [/mm] die Funktion [mm] \nu\mapsto\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0} [/mm] auf [a,b] \ [mm] \{x_0\} [/mm] monoton wachsend und beschränkt ist. Präzisieren Sie diese Idee. |
Hallo!
Also ich habe mich an der Aufgabe schon versucht. Habe 1. und 2. gelöst. Jedoch weiß ich nicht, was ich bei 3. machen soll. Selbst der Hinweis hilft mir nicht. Also ich weiß über konvexe Funktionen, dass jede konvexe Funktion stetig ist (also mein Tutor meinte zumindestens fast jede). Außerdem weiß ich, dass folgendes gilt:
[mm] f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y).
[/mm]
So und nun weiß ich nicht mehr weiter. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank schonmal dafür.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Sagen wir mal, wir hätten gezeigt, dass der Differenzenquotient im Hinweis monoton steigen und beschränkt ist. Weisst Du, warum daraus die Stetigkeit folgt? (Tipp: Widerspruchsbeweis)
Die Monotonie zeigt man auch leicht per Widerspruchsbeweis. Angenommen, das Teil wäre nicht monoton steigend, dann gibt es ein [mm] $\nu_{1}$ [/mm] und ein [mm] $\nu_{2} \in (\nu_{1},x_{0})$ [/mm] so dass was gilt? Wo ist der Widerspruch zu 2.?
Bei der Beschränktheit weiss ich leider auch gerade nicht weiter.
Dein Übungsgruppenleiter hat recht, konvexe Funktionen müssen tatsächlich im Inneren ihres Definitionsbereichs stetig sein (das zeigst Du ja gerade in der Aufgabe). Schau Dir mal als Beispiel folgende Funktion an:
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [a,\bruch{a+b}{2}) \\ 1, & \mbox{für } x\in [\bruch{a+b}{2},b] \end{cases}$
[/mm]
Inwieweit stört die Unstetigkeit die Konvexität, kannst Du das mal in Worten erläutern? Wenn Dir das klar ist, sollte das Beispiel am Ende der Aufgabe kein Problem sein.
Tipp: Es ist nicht so sehr die Unstetigkeitsstelle an sich, die stört, sondern?
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 09.01.2010 | | Autor: | snoopy89 |
hallo!
danke für die antwort.
also ich weiß, dass eine funktion stetig ist, wenn sie differenzierbar ist, d.h. es existiert eine ableitung. die ableitung von $ [mm] \nu\mapsto\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0} [/mm] $ wäre $ [mm] f'(\nu)=\limes_{\nu\rightarrow x_0}\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0} [/mm] $.
also ich hatte mal einen satz in der vorlesung, in dem gesagt wurde, wenn es eine folge gibt, die beschränkt und monoton wachsend ist, dann gibt es auch den lim. allerdings glaube ich, dass ich diese argumentation nicht einfach übernehmen darf, oder?
da die hilfsfunktion den quotienten darstellt, müsste ich somit nur noch beschränkt und monoton wachsend zeigen.
monotonie habe ich mir folgenderweise gedacht:
sei k:$ [mm] \nu\mapsto\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0} [/mm] $.
annahme: k ist nicht monoton wachsend.
dann gibt es ein [mm] x_2 [/mm] und ein [mm] x\in(x_0,x_2) [/mm] mit [mm] x_0,x_2\in(a,b) [/mm] (also [mm] x_0
allerdings ist mir nicht so recht klar, warum ich die rechts- und linksseitig ableitung brauche?
aber dann habe ich mir aufgezeichnet, wie es bei unstetigen funktionen wäre, aber da habe ich gesehen, dass dann die definition von konvex nicht mehr funktioniert. jedoch müsste es für diese unstetige funktion funktionieren:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [a,b) \\ 1, & \mbox{für } x=b \end{cases} [/mm] $
weiterhin hatten wir einen satz, der besagt:
sei [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] auf (a,b] differenzierbar und der grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow a}f'(x)=y [/mm] existiere (hierbei sei der pfeil von links oben nach rechts unten). dann ist f in a (rechtsseitig) differenzierbar mit f'(a)=y.
somit bräuchte ich nur zeigen, dass der grenzwert existiert und kann den rest dann mit dem satz folgern.
nur wie kann ich zeigen, dass die funktion beschränkt ist und der grenzwert existiert? wär super, wenn mir nochmals jemand helfen könnte. vielen dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> hallo!
>
> danke für die antwort.
>
> also ich weiß, dass eine funktion stetig ist, wenn sie
> differenzierbar ist, d.h. es existiert eine ableitung. die
> ableitung von [mm]\nu\mapsto\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0}[/mm]
> wäre [mm]f'(\nu)=\limes_{\nu\rightarrow x_0}\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0} [/mm].
Hier stimmt irgendwas mit der Formulierung nicht, die Ableitung von [mm] $k(\nu)$ [/mm] hast Du ja hier garnicht berechnet (und sie muss auch nicht existieren).
Das Problem dabei ist, dass nicht jede konvexe Funktion überall differenzierbar ist, das ist ja gerade der Knackpunkt der Aufgabe:
$f(x) = |x|$ ist auf $[-1,1]$ konvex, aber bei $x=0$ nicht differenzierbar, denn linksseitige und rechtsseitige Ableitung stimmen nicht überein.
> also ich hatte mal einen satz in der vorlesung, in dem
> gesagt wurde, wenn es eine folge gibt, die beschränkt und
> monoton wachsend ist, dann gibt es auch den lim. allerdings
> glaube ich, dass ich diese argumentation nicht einfach
> übernehmen darf, oder?
Doch, darfst Du, der Beweis dieses Satzes müsste eigentlich völlig analog zu dem für Folgen auch für monotone Funktionen gehen.
> da die hilfsfunktion den quotienten darstellt, müsste ich
> somit nur noch beschränkt und monoton wachsend zeigen.
>
> monotonie habe ich mir folgenderweise gedacht:
>
> sei k:[mm] \nu\mapsto\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0} [/mm].
> annahme:
> k ist nicht monoton wachsend.
>
> dann gibt es ein [mm]x_2[/mm] und ein [mm]x\in(x_0,x_2)[/mm] mit
> [mm]x_0,x_2\in(a,b)[/mm] (also [mm]x_0
> [mm]k(x)=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge \bruch{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}=k(x_2)[/mm]
> im widerspruch zu 2.
Korrekt, aber da hast Dus nur für [mm] $(x_{0},b]$ [/mm] gezeigt, im Intervall [mm] $[a,x_{0})$ [/mm] gehts aber genauso.
> allerdings ist mir nicht so recht klar, warum ich die
> rechts- und linksseitig ableitung brauche?
Weil es sein kann, dass die Funktion bei [mm] $x_{0}$ [/mm] nicht differenzierbar ist; trotzdem kann die Funktion konvex sein. Nimm Dir mal die Funktion her, die ich Dir gegeben habe, und berechne die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung an der Stelle [mm] $x_{0} [/mm] = [mm] \bruch{a+b}{2}$. [/mm] Was ist hier anders?
> aber dann habe ich mir aufgezeichnet, wie es bei
> unstetigen funktionen wäre, aber da habe ich gesehen, dass
> dann die definition von konvex nicht mehr funktioniert.
> jedoch müsste es für diese unstetige funktion
> funktionieren:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [a,b) \\ 1, & \mbox{für } x=b \end{cases}[/mm]
Beide Beobachtungen sind richtig. Was ist anders, wenn Du den Unstetigkeitspunkt an den Rand des Intervalls legst?
> weiterhin hatten wir einen satz, der besagt:
> sei [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] auf (a,b] differenzierbar und der
> grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow a}f'(x)=y[/mm] existiere (hierbei
> sei der pfeil von links oben nach rechts unten). dann ist f
> in a (rechtsseitig) differenzierbar mit f'(a)=y.
>
> somit bräuchte ich nur zeigen, dass der grenzwert
> existiert und kann den rest dann mit dem satz folgern.
Magst Du das ein wenig ausführlicher aufschreiben? ^^;
> nur wie kann ich zeigen, dass die funktion beschränkt ist
> und der grenzwert existiert? wär super, wenn mir nochmals
> jemand helfen könnte. vielen dank.
Zur Beschränktheit ist mir leider immernoch nichts eingefallen...
Gruß,
AT-Colt
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Sa 09.01.2010 | | Autor: | snoopy89 |
sei k:$ [mm] \nu\mapsto\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0} [/mm] $.
annahme:
k ist nicht monoton wachsend.
dann gibt es ein b und ein $ [mm] x\in(x_0,b] [/mm] $ mit
$ [mm] x_0,b\in(a,b] [/mm] $ (also $ [mm] x_0
$ [mm] k(x)=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge \bruch{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}=k(b) [/mm] $
im widerspruch zu 2.
daraus folgt f ist im intervall [mm] (x_0,b] [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt.
sei k:$ [mm] \nu\mapsto\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0} [/mm] $.
annahme:
k ist nicht monoton wachsend.
dann gibt es ein $ a $ und ein $ [mm] x\in(a,x_0) [/mm] $ mit
$ [mm] a,x_0\in[a,b) [/mm] $ (also $ [mm] a
$ [mm] k(a)=\bruch{f(a)-f(x_0)}{a-x_0}\ge \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k(x) [/mm] $
im widerspruch zu 2.
daraus folgt f ist im intervall [mm] [a,x_0) [/mm] monoton wachsend und nach unten beschränkt.
nun bräuchte ich den satz, der sagt, wenn beschränkt und monoton, dann gibt es einen lim, aber der war ja nur für folgen. wie kann ich nun beweisen, dass das bei funktionen auch noch gilt? also wir hatten das für folgen mit teilfolgen und bolzano-weierstraß bewiesen und daher weiß ich nicht, wie ich das bei funktionen machen soll...
Somit gilt für [mm] (x_0,b] [/mm] beschränkt und für [mm] [a,x_0) [/mm] beschränkt, d.h. wenn man [mm] x_0= [/mm] a wählt im Intervall (a,b) (aufgabe) is k immer noch durch a beschränkt und es gibt eine rechtsseitige ableitung wenn man für [mm] x_0=b [/mm] wählt gibt es eine linksseitige ableitung, für jedes [mm] x\in(a,b).
[/mm]
das doofe hierbei ist allerdings, dass ja a und b nicht im intervall (a,b) liegen, aber ansonsten weiß ich nich wie ich das zeigen soll.
und muss ich für das beispiel zeigen, dass es konvex und stetig ist? also insgesamt wird es wohl zwischen 3 und 4 punkte auf diese teilaufgabe geben. irgendwann kann man halt keine punkte mehr darauf vergeben...
vielen dank für deine geduld!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 So 10.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Ich muss gestehen, dass ich im Moment zu müde bin, um garantiert alles zu erfassen, schauen wir uns das mal an:
> sei k:[mm] \nu\mapsto\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0} [/mm].
>
> annahme:
> k ist nicht monoton wachsend.
>
> dann gibt es ein b und ein [mm]x\in(x_0,b][/mm] mit
> [mm]x_0,b\in(a,b][/mm] (also [mm]x_0
> [mm]k(x)=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge \bruch{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}=k(b)[/mm]
>
> im widerspruch zu 2.
>
> daraus folgt f ist im intervall [mm](x_0,b][/mm] monoton wachsend
> und nach oben beschränkt.
Du meinst k, nicht f. Es ist korrekt, dass k im Interval [mm] $(x_{0},b]$ [/mm] nach oben beschränkt ist, aber hier brauchst Du, dass es nach unten beschränkt ist, Du willst ja die rechtsseitige Ableitung von [mm] $f(x_{0})$ [/mm] berechnen.
Nochmal meine Frage: Wenn [mm] $f(\nu)$ [/mm] monoton steigend ist, wenn [mm] $\nu$ [/mm] wächst, was ist $f$ dann, wenn [mm] $\nu$ [/mm] fällt?
> sei k:[mm] \nu\mapsto\bruch{f(\nu)-f(x_0)}{\nu-x_0} [/mm].
>
> annahme:
> k ist nicht monoton wachsend.
>
> dann gibt es ein [mm]a[/mm] und ein [mm]x\in(a,x_0)[/mm] mit
> [mm]a,x_0\in[a,b)[/mm] (also [mm]a
> [mm]k(a)=\bruch{f(a)-f(x_0)}{a-x_0}\ge \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k(x)[/mm]
>
> im widerspruch zu 2.
>
> daraus folgt f ist im intervall [mm][a,x_0)[/mm] monoton wachsend
> und nach unten beschränkt.
Wieder richtig, aber hier willst Du haben, dass es nach oben beschränkt ist, denn hier näherst Du Dich von links an. Und natürlich meinst Du wieder k statt f.
> nun bräuchte ich den satz, der sagt, wenn beschränkt und
> monoton, dann gibt es einen lim, aber der war ja nur für
> folgen. wie kann ich nun beweisen, dass das bei funktionen
> auch noch gilt? also wir hatten das für folgen mit
> teilfolgen und bolzano-weierstraß bewiesen und daher weiß
> ich nicht, wie ich das bei funktionen machen soll...
Ok, ich skizziere mal den Beweis für Funktionen.
Sei $f(x)$ auf dem Definitionsbereich $D$ monoton steigend und beschränkt. Dann gibt es wegen der Beschräntheit eine kleinste obere Schranke $c := [mm] sup\{f(x),x\in D\}$, [/mm] d.h. $c [mm] \ge [/mm] f(x)$ für alle [mm] $x\in [/mm] D$, aber es gibt für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $x_{\epsilon}\in [/mm] D$, so dass [mm] $c-\epsilon [/mm] < [mm] f(x_{\epsilon})$. [/mm] Sonst wäre ja [mm] $c-\epsilon$ [/mm] die kleinste obere Schranke. Aber was steht dann da?
Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] >0$ gibt es ein [mm] $x_{\epsilon}\in [/mm] D$, so dass [mm] $|c-f(x_{\epsilon})| [/mm] = [mm] c-f(x_{\epsilon}) [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm] Da nun $f$ zudem monoton steigend ist, gilt das sogar für alle $x [mm] \ge x_{\epsilon}$.
[/mm]
Du findest also in jeder noch so kleinen Umgebung von $c$ Funktionswerte $f(x)$, die immer weiter gegen $c$ konvergieren.
> Somit gilt für [mm](x_0,b][/mm] beschränkt und für [mm][a,x_0)[/mm]
> beschränkt, d.h. wenn man [mm]x_0=[/mm] a wählt im Intervall (a,b)
> (aufgabe) is k immer noch durch a beschränkt und es gibt
> eine rechtsseitige ableitung wenn man für [mm]x_0=b[/mm] wählt
> gibt es eine linksseitige ableitung, für jedes [mm]x\in(a,b).[/mm]
> das doofe hierbei ist allerdings, dass ja a und b nicht im
> intervall (a,b) liegen, aber ansonsten weiß ich nich wie
> ich das zeigen soll.
Hier verlierst Du Dich jetzt irgendwie in Gedanken, die ich nicht nachvollziehen kann: Wieso ist k durch a beschränkt, und wieso wählst Du [mm] $x_{0} [/mm] = a$, wenn Du [mm] $x_{0} \in [/mm] (a,b)$ wählen sollst, wo $a$ garnicht drin enthalten ist?
Betrachte erstmal ein [mm] $x_{0}$, [/mm] das echt zwischen $a$ und $b$ liegt. Was weisst Du dann über den linksseitigen und rechtsseitigen Limes von [mm] $f'(x_{0})$?
[/mm]
> und muss ich für das beispiel zeigen, dass es konvex und
> stetig ist? also insgesamt wird es wohl zwischen 3 und 4
> punkte auf diese teilaufgabe geben. irgendwann kann man
> halt keine punkte mehr darauf vergeben...
Für das Beispiel kannst du garnicht zeigen, dass es stetig ist, es soll ja gerade unstetig sein. Aber ja, die Konvexität Deiner Beispielfunktion musst Du schon zeigen.
> vielen dank für deine geduld!
Gruß,
AT-Colt
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 10.01.2010 | | Autor: | snoopy89 |
oh man, die aufgabe hats irgendwie in sich^^
und ich muss sagen, für 2 pkt is mir das mittlerweile zu viel aufwand (da warten irgendwie auch schon die nächsten ha...) und ich hab dank dir die aussage verstanden und zumindest eine ahnung. du kannst wirklich gut erklären :)
vielen dank für die hilfe und dass du dir selbst um 1 uhr nachts die mühe machst^^
aber das beispiel würd ich gern zu ende führe:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [a,b) \\ 1, & \mbox{für } x=b \end{cases} [/mm] $
Die Funktion ist nicht stetig in [mm] x_0=b
[/mm]
aber sie ist konvex:
für beliebige [mm] x_1,x_2 \in [/mm] [a,b) und alle [mm] \lambda \in [/mm] [0,1] gilt
[mm] 0=f(\lambda x_1 [/mm] + [mm] (1-\lambda)x_2) \le \lambda f(x_1) [/mm] + [mm] (1-\lambda)f(x_2) [/mm] = 0
weiterhin gilt für ein beliebiges [mm] x_1 \in [/mm] [a,b) und [mm] x_2=b [/mm] und alle [mm] \lambda \in [/mm] (0,1]
0 = [mm] f(\lambda x_1 [/mm] + [mm] (1-\lambda)x_2) \le \lambda f(x_1) [/mm] + [mm] (1-\lambda)f(x_2) [/mm] = 1 - [mm] \lambda
[/mm]
und für ein beliebiges [mm] x_1 \in [/mm] [a,b) und [mm] x_2=b [/mm] und [mm] \lambda [/mm] = 0 gilt:
1 = [mm] f(\lambda x_1 [/mm] + [mm] (1-\lambda)x_2) \le \lambda f(x_1) [/mm] + [mm] (1-\lambda)f(x_2) [/mm] = 1
ich hoffe ich habe mich nicht vertan. ist das soweit korrekt?
wirklich vielen dank noch einmal für deine hilfe :)
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 10.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Sieht gut aus, ich konnte keinen Fehler sehen.
Gruß,
AT-Colt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Zur Beschränktheit:
Da diese nur für [mm] $[a,b]\backslash\{x_{0}\}$ [/mm] zu zeigen ist, wähle [mm] $x_{0}\in [/mm] (a,b)$ fest. Zeige, dass [mm] $k(\nu)$ [/mm] auf [mm] $[a,x_{0})$ [/mm] nach oben und auf [mm] $(x_{0},b]$ [/mm] nach unten beschränkt ist.
Letzteres genügt, da wir hier die Argumentation umdrehen: [mm] $k(\nu)$ [/mm] ist zwar für größer werdendes Argument monoton steigend, aber was ist, wenn das Argument kleiner wird?
Es wäre auch nicht zwangsläufig richtig, dass [mm] $k(\nu)$ [/mm] auf dem ersten Intervall nach unten und auf dem zweiten Intervall nach oben beschränkt ist, siehe das Gegenbeispiel, das Du finden solltest.
Für das erste Intervall betrachte [mm] $\nu
Im Prinzip ging es nur darum, die richtigen Zahlen für [mm] $x_1$, [/mm] $x$ und [mm] $x_2$ [/mm] in 2. zu finden.
Gruß,
AT-Colt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 11.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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