matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Funktionalanalysis > konvexe Funktion
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Funktionalanalysis" - konvexe Funktion
konvexe Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

konvexe Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Di 03.03.2009
Autor: Riley

Aufgabe
Es sei \ [mm] \cdot \|: [/mm] X [mm] \rightarrow [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] eine Norm auf den Vektorraum X. Zu zeigen: Für jedes f [mm] \in [/mm] X ist die Funktion [mm] \phi: [/mm] X [mm] \rightarrow [0,\infty) [/mm] mit [mm] \phi(u) [/mm] = [mm] \| [/mm] f - u [mm] \| [/mm] konvex.

Hallo,
[mm] \phi [/mm] ist konvex, genau dann wenn

[mm] \phi(a [/mm] x + (1-a) y) [mm] \leq [/mm] a [mm] \phi(x) [/mm] + (1-a) [mm] \phi [/mm] (y).

Also

[mm] \phi(ax [/mm] + (1-a) y) = [mm] \| [/mm] f - ax - (1-a)y [mm] \| [/mm]

Wie komm ich da aber nun auf ... = a [mm] \|f [/mm] -x [mm] \| [/mm] + (1- a) [mm] \|f-y\| [/mm] ?

Oder muss ich da ganz anders rangehen? Wär super, wenn jemand einen tip für mich hat!
Viele Grüße,
Riley


        
Bezug
konvexe Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Di 03.03.2009
Autor: fred97


> Es sei \ [mm]\cdot \|:[/mm] X [mm]\rightarrow[/mm] [0, [mm]\infty)[/mm] eine Norm auf
> den Vektorraum X. Zu zeigen: Für jedes f [mm]\in[/mm] X ist die
> Funktion [mm]\phi:[/mm] X [mm]\rightarrow [0,\infty)[/mm] mit [mm]\phi(u)[/mm] = [mm]\|[/mm] f
> - u [mm]\|[/mm] konvex.
>  Hallo,
>  [mm]\phi[/mm] ist konvex, genau dann wenn
>  
> [mm]\phi(a[/mm] x + (1-a) y) [mm]\leq[/mm] a [mm]\phi(x)[/mm] + (1-a) [mm]\phi[/mm] (y).
>  
> Also
>  
> [mm]\phi(ax[/mm] + (1-a) y) = [mm]\|[/mm] f - ax - (1-a)y [mm]\|[/mm]


[mm]\phi(ax[/mm] + (1-a) y) = [mm]\|[/mm] f - ax - (1-a)y [mm]\|[/mm]  = [mm]\|[/mm] af - ax + (1-a)f- (1-a)y [mm]\|[/mm]  = [mm]\|[/mm] a(f - x) + (1-a)(f- y) [mm]\|[/mm]  
Jetzt Dreiecksungleichun

FRED


>
> Wie komm ich da aber nun auf ... = a [mm]\|f[/mm] -x [mm]\|[/mm] + (1- a)
> [mm]\|f-y\|[/mm] ?
>  
> Oder muss ich da ganz anders rangehen? Wär super, wenn
> jemand einen tip für mich hat!
>  Viele Grüße,
>  Riley
>  
>  

Bezug
                
Bezug
konvexe Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Di 03.03.2009
Autor: Riley

Hallo Fred,
danke für die schnelle Antwort, sehr cool :-).
Viele Grüße,
Riley
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]