konvex ist kompl(iziert)ex < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marschal |
| Aufgabe | Schönen guten Abend alle zusammen. Die Aufgabe ist:
Sei $ [mm] I=[a,b]\neq \emptyset [/mm] $ und $ [mm] f:I\to \IR [/mm] $ eine inkonstante konvexe Funktion.
Behauptung: $ [mm] {\rm max} [/mm] \ f(x) $ wird nicht im Inneren von $ I $ angenommen. |
Mit "im Inneren von $ I $" ist wohl die Menge aller inneren Punkte von $ I $ gemeint, also $ J:=(a,b) $
Ich komme aber trotzdem auf keinen grünen Zweig. Die Definition: $ f: [mm] \IR^n \supset [/mm] D [mm] \to \IR [/mm] $ ist konvex $ [mm] \iff \forall\ x,y\in [/mm] D $ gilt $ [mm] f\big((1-t)x+ty\big) \leq (1-t)f(x)+tf(y)\quad \forall t\in [/mm] [0,1] $ weiß ich hier gar nicht anzuwenden.
Könnt ihr mir helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Di 29.05.2012 | | Autor: | kamaleonti |
Guten Abend Marschal,
> Schönen guten Abend alle zusammen. Die Aufgabe ist:
>
> Sei [mm]I=[a,b]\neq \emptyset[/mm] und [mm]f:I\to \IR[/mm] eine inkonstante konvexe Funktion.
>
> Behauptung: [mm]{\rm max} \ f(x)[/mm] wird nicht im Inneren von [mm]I[/mm] angenommen.
> Mit "im Inneren von [mm]I [/mm]" ist wohl die Menge aller inneren
> Punkte von [mm]I[/mm] gemeint, also [mm]J:=(a,b)[/mm]
>
> Ich komme aber trotzdem auf keinen grünen Zweig. Die
> Definition: [mm]f: \IR^n \supset D \to \IR[/mm] ist konvex [mm]\iff \forall\ x,y\in D[/mm]
> gilt [mm]f\big((1-t)x+ty\big) \leq (1-t)f(x)+tf(y)\quad \forall t\in [0,1][/mm]
> weiß ich hier gar nicht anzuwenden.
Angenommen [mm] \xi\in(a,b) [/mm] ist Maximum. Dann gilt in einer Umgebung U, [mm] U\subset(a,b) [/mm] von [mm] \xi: [/mm]
[mm] $f(\xi)\ge [/mm] f(x)$ für alle [mm] $x\in [/mm] U$.
Ohne Einschränkung [mm] U=(\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon) [/mm] mit einem [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Verwende nun die Konvexität von f, um dies zum Widerspruch zu führen.
LG
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> Könnt ihr mir helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marschal |
Ich wollte dir genau so schnell antworten wie du mir. Leider hat es etwas gedauert bis bei mir der Groschen gefallen ist.
Das war eine super Idee von dir!
Eine Frage noch dazu: In der Aufgabenstellung ist die Rede von "dem Maximum" (hab ich mit $ [mm] {\rm max} [/mm] \ f(x) $) abgekürzt). Kann ich das so interpretieren, dass es genau eine Maximumsstelle gibt? Das hier:
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wäre ja auch eine konvexe inkonstante Funkion, allerdings mit unendlichen vielen Maxima. Verstehst du was ich meine?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Di 29.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Eine Frage noch dazu: In der Aufgabenstellung ist die Rede
> von "dem Maximum" (hab ich mit [mm]{\rm max} \ f(x) [/mm])
> abgekürzt). Kann ich das so interpretieren, dass es genau
> eine Maximumsstelle gibt?
Nein. Sondern nur ein Maximum. Das aber an beliebig vielen Stellen angenommen werden kann.
>
> --------- ----
> .
>
> wäre ja auch eine konvexe inkonstante Funkion, allerdings
> mit unendlichen vielen Maxima. Verstehst du was ich meine?
Deine Funktion nimmt zwar das Maximum im Inneren an, sie ist aber nicht konvex. Dazu müßte ihr Graph unterhalb jeder Sekante liegen. Dies tut sie bei der folgenden Sekante aber nicht:
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Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marschal |
Alles klar, dankeschön Wolfgang! Super eure Antworten!
Das war leider nur der a)-Teil der Aufgabe. In der b) ist $ f $ zusätzlich noch stetig.
Behauptung: $ [mm] {\rm max} [/mm] \ f(x) $ wird auf einem $ [mm] x\in\{a,b\} [/mm] $ angenommen.
Ich finde das etwas komisch, wenn ich das für alle inkonstanten konvexen Funktionen schon gezeigt habe, dass es das Maximum nicht im Inneren $ J $ angenommen wird, dann insebsondere doch auch für alle inkonstanten konvexen und stetigen Funktionen, oder? Folgt daraus nicht automatisch, dass $ [mm] {\rm max} [/mm] \ f(x) $ in $ a [mm] \vee [/mm] b $ angenommen wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Di 29.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Wie heißt Teil b) genau?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marschal |
Ist "Wie heißt Teil b) genau?" deine aktueller Antwort oder die andere? Wenn ja:
b) Sei $ [mm] I=[a,b]\neq \emptyset [/mm] $ und $ [mm] f:I\to \IR [/mm] $ eine inkonstante konvexe und stetige Funktion.
Behauptung: $ f $ nimmt das Maximum in einem $ [mm] x\in\{a,b\} [/mm] $ an.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Helbig |
>
> b) Sei [mm]I=[a,b]\neq \emptyset[/mm] und [mm]f:I\to \IR[/mm] eine
> inkonstante konvexe und stetige Funktion.
>
> Behauptung: [mm]f[/mm] nimmt das Maximum in einem [mm]x\in\{a,b\}[/mm] an.
In Teil a) sollten wir zeigen, daß $f$ sein Maximum nicht im Inneren annimmt, in Teil b),
daß $f$ sein Maximum am Rand annimmt. Und dazu brauchen wir die Stetigkeit. Denn sonst können wir nicht sagen, daß $f$ überhaupt ein Maximum hat.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Marschal |
Danke Wolfgang.
Achso, ich habe einfach die Aussage aus a), dass $ f $ ein Maximum haben soll, mit in die b) importiert.
Also: Da $ f $ stetig und inkonstant ist, gibt es $ [mm] x,y\in [/mm] I $ mit $ [mm] f(x)\neq [/mm] f(y) $. Hmm ich glaube ich stehe auf dem Schlauch. Wenn eine Funktion inkonstant ist, muss sie doch mindestens ein Maximum haben, oder? Wo spielt da die Stetigkeit mit herein?
Tut mir leid, wahrscheinlich wirke ich gerade total bescheuert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Danke Wolfgang.
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> Achso, ich habe einfach die Aussage aus a), dass [mm]f[/mm] ein
> Maximum haben soll, mit in die b) importiert.
In a) wird nicht vorausgesetzt, daß $f$ überhaupt ein Maximum hat. Deswegen kann man die Existenz eines Maximums auch nicht nach b) "importieren".
>
> Also: Da [mm]f[/mm] stetig und inkonstant ist, gibt es [mm]x,y\in I[/mm] mit
> [mm]f(x)\neq f(y) [/mm]. Hmm ich glaube ich stehe auf dem Schlauch.
> Wenn eine Funktion inkonstant ist, muss sie doch mindestens
> ein Maximum haben, oder? Wo spielt da die Stetigkeit mit
> herein?
z. B. $f(x) = x$ für [mm] $x\in[0,1)$ [/mm] und $f(1)=0$. Dieses $f$ hat kein Maximum auf $[0,1]$.
Nun gibt es den Satz, daß eine stetige Funktion auf einem Kompaktum ein Maximum hat, und $[a,b]$ ist kompakt. Nach a) gibt es keine Maximumstelle in $(a,b)$. Also muß einer der beiden Punkte [mm] $a,\; [/mm] b$ eine Maximumstelle sein.
Übrigens, beachte meine Mitteilung zur Beweisskizze von kamaleonti!
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo, kamaleonti,
die [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] liefert keinen Widerspruch. $f$ kann ja innerhalb der [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] konstant sein.
Wir können aber nur voraussetzen, daß $f$ auf ganz $[a,b]$ nicht konstant ist. Dies wird z. B. auch von $f(a)=0$, $f(x)=1$, für [mm] $x\in [/mm] (a, b]$ erfüllt, aber auf jeder offenen Umgebung, die ganz in $(a, b]$ liegt, ist $f$ konstant und damit konvex. Nicht dagegen auf ganz $[a,b]$, wo $f$ weder konstant noch konvex ist.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Marschal |
Dann würde mein Beweis also nicht funktionieren?:
Annahme: Sei [mm] f(\xi ) [/mm] das Maximum von [mm] f [/mm] auf [mm] (a,b) [/mm]. Da [mm] f [/mm] inkonstant ist gibt es ein [mm] \kappa \in [a,b] [/mm] mit [mm] f(\kappa ) < f(\xi ) [/mm].
Πist [mm] \kappa \in \{\xi -\varepsilon ,\ \xi +\varepsilon \}\subset I [/mm]
Dann gilt für [mm] t= \frac{1}{2} [/mm]:
$ [mm] f\left(\frac{\xi}{2}-\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\xi}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\right)= f(\xi [/mm] )\ [mm] \leq\ \frac{1}{2}f(\xi [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] )+ [mm] \frac{1}{2}f(\xi [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] )\ =\ [mm] \underbrace{\frac{1}{2}\big(f(\xi - \varepsilon )+f(\xi + \varepsilon )\big)}_{
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> Dann würde mein Beweis also nicht funktionieren?:
Helbig hat Recht, leider nein.
>
> Annahme: Sei [mm]f(\xi )[/mm] das Maximum von [mm]f[/mm] auf [mm](a,b) [/mm]. Da [mm]f[/mm]
> inkonstant ist gibt es ein [mm]\kappa \in [a,b][/mm] mit [mm]f(\kappa ) < f(\xi ) [/mm].
>
> Πist [mm]\kappa \in \{\xi -\varepsilon ,\ \xi +\varepsilon \}\subset I[/mm]
Die Existenz von [mm] \varepsilon>0 [/mm] ist hier nicht gesichert.
Nimm o. E. [mm] \kappa<\xi [/mm] an.
Wegen [mm] \xi\in(a,b) [/mm] gibt es ein [mm] \eta\in(\xi, [/mm] b).
Dann liegt die Sekante durch [mm] f(\kappa) [/mm] und [mm] f(\eta) [/mm] nicht für alle [mm] x\in(\kappa,\eta) [/mm] oberhalb des Graphen von f.
Konkret liegt [mm] f(\xi) [/mm] über dieser Sekante [...]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Marschal |
Ich habe alles! Cool! Vielen Danke euch!
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