konvergenzradius einer Potenzr < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
sitze grad an folgender Aufgabe:
Für [mm] s\in \IR [/mm] betrachte die Potenzreihe [mm] \summe_{n\ge1}^{} \bruch{z^n}{n^s}, z\in \IC
[/mm]
Bestimme den konvergenzradius.
Ich weiß, dass der Konvergenzradius R= [mm] \bruch{1}{l} [/mm] ist und l= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
Aber ich habe keine Ahnung, wie ich hier mein l quasi bestimmen muss, um an meinen Konvergenzradius zu kommen. Kann mir da jemand helfen? Würde gerne verstehen, wie man solch eine Aufgabe löst.
Danke. Tanzmaus
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Hallo Tanzmaus,
> Hallo,
> sitze grad an folgender Aufgabe:
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> Für [mm]s\in \IR[/mm] betrachte die Potenzreihe [mm]\summe_{n\ge1}^{} \bruch{z^n}{n^s}, z\in \IC[/mm]
>
> Bestimme den konvergenzradius.
>
> Ich weiß, dass der Konvergenzradius R= [mm]\bruch{1}{l}[/mm] ist und
> l= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\red{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}[/mm]
>
> Aber ich habe keine Ahnung, wie ich hier mein l quasi
> bestimmen muss, um an meinen Konvergenzradius zu kommen.
> Kann mir da jemand helfen? Würde gerne verstehen, wie man
> solch eine Aufgabe löst.
>
> Danke. Tanzmaus
Hier ist doch das [mm] $a_n=\frac{1}{n^s}$
[/mm]
Also einfach mal ansetzen würde ich meinen:
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^s}{(n+1)^s}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^s=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n\red{+1-1}}{n+1}\right)^s=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^s=...$
[/mm]
Wogegen strebt das für [mm] $n\to\infty$ [/mm] (und festes [mm] $s\in\IR$) [/mm] ?
Das ist dann dein $l$ und die Potenzreihe konvergiert für [mm] $|z|
Für $|z|=R$ musst du separat schauen...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Für [mm]|z|=R[/mm] musst du separat schauen...
ja, wenn man die Frage stellen würde, für genau welche $z$ die Reihe konvergiert. Es ist aber nur nach dem Konvergenzradius $R$ der Potenzreihe gefragt, und dass man dann i.a. keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Reihe für $|z|=R$ treffen kann, ist klar.
Also bitte:
Nach Aufgabenstellung reicht es vollkommen, den Konvergenzradius anzugeben, wenn man dann noch Aussagen für $|z|=R$ treffen will, so kann man das für sich selbst gerne versuchen, aber es ist nicht in der Aufgabe verlangt.
Es reicht mit der Rechnung schlussendlich vollkommen, wenn man schreibt:
Der Konvergenzradius der Potenzreihe hat den Wert $R=...$
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
hast ja recht, es war ja "nur" nach dem Konvergenzradius gefragt
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") für meinen Übermut 
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hi Marcel,
>
> hast ja recht, es war ja "nur" nach dem Konvergenzradius
> gefragt
>
> für meinen Übermut
das ist ja kein Problem, ich wollte nur Tanzmaus davor bewahren, sich ggf. Stunden damit abzuplagen, was für $|z|=R$ ist, obwohl es in der Aufgabenstellung nicht explizit verlangt wird.
Dazu bräuchte man Kenntnisse über die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{s}}$, [/mm] die man sich z.B. mittels des Cauchyschen Verdichtungssatz herleiten kann.
(Resultat: Diese Reihe konvergiert für $s [mm] \in \IR$ [/mm] genau dann, wenn $s > 1$.)
(Zumindest würde das schonmal helfen, eine Konvergenzaussage für $|z|=R$ von [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^s}$ [/mm] zu treffen. Mit dem Majorantenkriterium hätte man dann nämlich für $s>1$ eine konvergente Majorante, die Reihe wäre also absolut konvergent. Und wer genau hinguckt, sollte sehen, dass ich bei der konvergenten Majorante eigentlich schon den Wert für $R$ bekanntgebe, wenngleich auch versteckt )
Aber ich gehe mal aus, dass man diese Kenntnisse noch nicht in der von Tanzmaus besuchten Vorlesung zur Hand hat, denn andernfalls wäre diese Frage sicherlich bei dieser Aufgabe auch explizit gestellt worden
Wie gesagt:
Es ist gut, dass Du daran denkst, aber wir wollen Tanzmaus hier nicht "überfordern" in dem Sinne, dass wir Fragen stellen, für deren Beantwortung sie noch nicht das passende Werkzeug zur Hand hat
Gruß,
Marcel
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Hallo Ihr,
vielen Dank für eure ausführlichen Antworten. Habe die Aufgabe jetzt auch selber hinbekommmen.
habe allerdings noch eine weitere Aufgabe, wo ich den Konvergenzradius bestimmen soll.
Betrachte die Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{2^n + n^2} z^n
[/mm]
Habe hier mit dem Wurzelkriterium angefangen und habe folgendes:
[mm] l=\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\wurzel{2^n + n^2}}
[/mm]
Jetzt weiß ich von ner Musterlösung, dass die dort als nächstes auf folgendes kommen.
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{2} \wurzel[n]{\wurzel{1+ \bruch{n^2}{2^n}}}
[/mm]
Könnte mir jemand erklären, wie ich auf diese Umformung komme? Steh da voll auf dem Schlauch.
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Fr 08.02.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Jetzt weiß ich von ner Musterlösung, dass die dort als
> nächstes auf folgendes kommen.
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{2} \wurzel[n]{\wurzel{1+ \bruch{n^2}{2^n}}}[/mm]
Mit einem Zwischenschritt sieht das so aus, das ist echter Mittelstufenstoff und kein Hexenwerk:
[mm] \wurzel[n]{\wurzel{2^n + n^2}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2^{\bruch{n}{2}}*\wurzel{1+ \bruch{n^2}{2^n}}} [/mm] = [mm] \wurzel{2} \wurzel[n]{\wurzel{1+ \bruch{n^2}{2^n}}}
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke Dieter. Manchmal sieht man einfach den Wald vor Lauter Bäumen nicht. Wenn mans sieht, ist es sofort klar. Danke und liebe Grüße Tanzmaus
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