konvergenz von reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] ist absolut konvergent, so konvergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2}, [/mm] das soll ich beweisen, nehm ich da am besten ein kriterium?
und dann noch ob es auch gilt wenn summe [mm] a_{n} [/mm] nur konvergent ist
kann ich hier evtl ein gegenbeispiel finden?
many greetz
dschingis
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Hallo Dschingis
für die Summe der [mm] $a_n$ [/mm] bedeutet das daß ein $N$ so existiert daß [mm] $|a_N+i| [/mm] < 1 $ für i > 0
damit
ist aber zumindest nach diesem $N$ die Reihe der Quadrate eine Minorante der Reihe der [mm] $a_n$ [/mm] .
Eine nicht absolut konvergente Reihe der [mm] $a_n$ [/mm] könnte [mm] $x_1-y_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] y_2 [/mm] ..$ sein,
mit konvergierender Reihe der [mm] $x_i [/mm] - [mm] y_i$ [/mm] aber beliebig großen [mm] $x_i,y_i$; [/mm] damit ist
dann [mm] $x_1^2 [/mm] + [mm] y_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] y_2^2 [/mm] + ...$ nicht konvergent.
aber Paulus macht das sicher präziser.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo dschingis
hätte ich die Aufgabe zu lösen, würde ich wohl überlegen: wenn die Reihe absolut konvergent ist, ist ab einem bestimmten Glied der Betrag des Reihengliedes kleiner als 1. Für diese Glieder ist das Quadrat vom Betrage her noch kleiner, so dass wohl das Majorantenkriterium grosse Chance auf eine erfolgreiche Anwendung haben sollte.
Gegenbeispiel? Hmm... OK, dann könnte die Reihe ja z. B. alternierend sein.
Wie wärs mit der Harmonischern Reihe, wobei aber bei jedem Glied zuerst die Wurzel ziehst das Vorzeichen wechselt?
Mit lieben Grüssen
Paul
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