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Forum "Uni-Analysis" - konvergenz von Reihen
konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Do 25.11.2004
Autor: maik2004

Hallo.
Habe vollgendes Problem.
Ich soll: Die vollgenden Reihen auf Konvergenz untersuchen und gegebenen falls den
Grenzwert bestimmen.

a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^n^+^1}{5*3^n} [/mm]

b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*(n+1)} [/mm]

c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1+n}{1+n^2} [/mm]

als tip zu b) ist gegeben:
benutzen sie dass [mm] \bruch{1}{n*(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]

Ich habe leider keine ahnung wie ich da vorgehen soll.
Bin für jede Hilfe dankbar.

mfg Maik

        
Bezug
konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Do 25.11.2004
Autor: frabi

Hallo![br]

zu a) bin ich der Meinung, dass man hier mit der geometrischen Reihe weiterkommt:
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{5\cdot 3^n} = \frac{2}{5}\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{3^n} = \frac{2}{5}\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n - 1\right)= \frac{2}{5}\cdot\left(\frac{1}{1-2/3}-1\right)= \frac{2}{5}\cdot\left(3-1\right)= \frac{4}{5} [/mm]

Falls ich mich nicht verrechnet hab.[br]

viele Grüße

Frabi


P.S. wie schreibt man denn hier einen Zeilenumbruch?


Bezug
        
Bezug
konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Do 25.11.2004
Autor: frabi

zu b)

Hier kann man die Reihe ja mal so schreiben, wie im Hinweis angedeutet:

[mm] \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} [/mm]

und schliesslich ausseinanderziehen:

[mm] = \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\right) [/mm]

jetzt fällt auf, dass man den zweiten Term auch wie den ersten darstellen kann, wenn
man an den Indizes etwas dreht:

[mm] = \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n}\right) [/mm]

Wenn man jetzt wieder bei $1$ anfängt zu zählen, heben sich beide Summen fast weg:

[mm] = \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right)-1\right) [/mm]


viele Grüße
  
frabi


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konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:55 Do 25.11.2004
Autor: maik2004

verdammt.
das bei b) ist mir überhaupt nicht aufgefallen.
werde mich gleich nocheinmal an die aufgabe setzen.

vielen dank für deine hilfe

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Bezug
konvergenz von Reihen: Formale Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Do 25.11.2004
Autor: Marcel

Hallo Fabian,

> zu b)
>  
> Hier kann man die Reihe ja mal so schreiben, wie im Hinweis
> angedeutet:
>  
> [mm] \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} [/mm]
>  
>
> und schliesslich ausseinanderziehen:
>  
> [mm] = \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\right) [/mm]
>  
>
> jetzt fällt auf, dass man den zweiten Term auch wie den
> ersten darstellen kann, wenn
>  man an den Indizes etwas dreht:
>  
> [mm] = \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n}\right) [/mm]
>  
>
> Wenn man jetzt wieder bei [mm]1[/mm] anfängt zu zählen, heben sich
> beide Summen fast weg:
>  
> [mm] = \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right)-1\right) [/mm]

Deine Idee ist richtig, die mathematische Ausführung falsch:
Es gilt:
[mm] $\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right)=\infty$ [/mm] (d.h., die Reihe ist bestimmt divergent gegen [mm] $\infty$), [/mm] und bei dir stünde am Ende so etwas wie:
[mm] $\infty-(\infty-1)$ [/mm]
da, und [mm] $\infty-\infty$ [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck und keineswegs mit $0$ gleichzusetzen!

Ich schreibe das ganze mal korrekt auf:
Für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] \sum_{n=1}^k\frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = \left(\sum_{n=1}^k\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=1}^k\frac{1}{n+1}\right)[/mm]
[mm]= \left(\sum_{n=1}^k\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=2}^{k+1}\frac{1}{n}\right) =1+\left(\sum_{n=2}^k\frac{1}{n}\right)- \left(\sum_{n=2}^{k}\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}[/mm]

Und daraus folgt:
[m]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{k \to \infty}\sum_{n=1}^k\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{k \to \infty}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)=1-\lim_{k \to \infty}\frac{1}{k+1}=1-0=1[/m]

Viele Grüße,
Marcel

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konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Do 25.11.2004
Autor: frabi

zu c)

[mm] \sum_{n=1}^\infty\frac{1+n}{1+n^2} [/mm]

Größenordnungsmäßig ist [mm] $\frac{1+n}{1+n^2}$ [/mm] ja sowas wie [mm] $\frac{1}{n}$. [/mm]
Wenn man jetzt zeigen könnte, dass unsere Reihe eine Majorante für die
Harmonische Reihe ist, so wären wir schon fertig.



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konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:18 Do 25.11.2004
Autor: Marcel

Hallo,

ja, die Idee ist genau die richtige:
Vielleicht gebe ich dir mal eine einfache Abschätzung an:
[m]\frac{1+n}{1+n^2}\ge \frac{n}{1+n^2}\ge \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2}*\frac{1}{n}[/m]
Das gilt für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Siehst du jede Abschätzung ein, oder ist dir eine davon unklar?

Viele Grüße,
Marcel

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konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 Do 25.11.2004
Autor: frabi


>  Vielleicht gebe ich dir mal eine einfache Abschätzung
> an:
>  [m]\frac{1+n}{1+n^2}\ge \frac{n}{1+n^2}\ge \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2}*\frac{1}{n}[/m]
>
> Das gilt für alle [mm]n \in \IN[/mm].

Man könnte doch auch
[mm] \frac{1+n}{1+n^2} \ge \frac{1}{n} \Leftrightarrow n(1+n) \ge 1+n^2\Leftrightarrow n+n^2 \ge 1+n^2\Leftrightarrow n \ge 1 [/mm]
Was ja auch für alle relevanten $n$ gilt, oder?

grüße
  frabi

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konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Fr 26.11.2004
Autor: Marcel

Hallo Frabi,

> >  Vielleicht gebe ich dir mal eine einfache Abschätzung

>
> > an:
>  >  [m]\frac{1+n}{1+n^2}\ge \frac{n}{1+n^2}\ge \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2}*\frac{1}{n}[/m]
>
> >
> > Das gilt für alle [mm]n \in \IN[/mm].
>
> Man könnte doch auch
>  [mm] \frac{1+n}{1+n^2} \ge \frac{1}{n} \Leftrightarrow n(1+n) \ge 1+n^2\Leftrightarrow n+n^2 \ge 1+n^2\Leftrightarrow n \ge 1 [/mm]
>  
> Was ja auch für alle relevanten [mm]n[/mm] gilt, oder?

Ja, klar. :-)

Viele Grüße,
Marcel

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konvergenz von Reihen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:48 Fr 26.11.2004
Autor: T000B

Hi!
Ich verzweifle an dieser Aufgabe und hab leider noch keinen Lösungsansatz... Bitte helft mir !!

Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge [mm] \{ \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} \} n\in \IN [/mm]  den Grenzwert  [mm] +\infty [/mm] hat!

DANKE!!

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konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:09 Fr 26.11.2004
Autor: Julius

Hallo!

[willkommenmr]

Lies dir mal bitte unsere Forenregeln durch, du verstößt gleich beim ersten Mal gegen mehrere (das haben wir auch selten). [kopfschuettel]

Naja, zur Aufgabe: Die Lösung findest du []hier.

Viele Grüße
Julius

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