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konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Mi 05.09.2007
Autor: anna_h

Aufgabe
Prüfen Sie ob folgende Summen konvergieren, und begründen Sie Ihre Lösung:

[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}sin\bruch{n*\pi}{3} [/mm]

[mm] b)\summe_{n=1}^{\infty} \bruch {\wurzel{n}}{\wurzel{n^{4}+4n^{2}-4}} [/mm]

Hallo
Ich brauche erstmal einen Ansatz.

Konvergenzkriterien?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Danke für eure Hilfe

        
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konvergenz: Idee zur a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Mi 05.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Anna!


Zerlege bei Aufgabe a.) die Reihe in 3 Teilreihen mit $n \ = \ 3*k+1$ , $n \ = \ 3*k+2$ sowie $n \ = \ 3*k$ .

Welche Werte für [mm] $\sin\left(\bruch{n*\pi}{3}\right)$ [/mm] erhält man dann jeweils? Wende auf diese 3 Teilreihen dann jeweils das Leibniz-Kriterium an.


Gruß
Loddar


Bezug
        
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konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Mi 05.09.2007
Autor: Blech


> Prüfen Sie ob folgende Summen konvergieren, und begründen
> Sie Ihre Lösung:
>  
> [mm]a)\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}sin\bruch{n*\pi}{3}[/mm]
>  
> [mm]b)\summe_{n=1}^{\infty} \bruch {\wurzel{n}}{\wurzel{n^{4}+4n^{2}-4}}[/mm]
>  
> Hallo
>  Ich brauche erstmal einen Ansatz.

> Konvergenzkriterien?

Die brauchst Du hier auf jeden Fall.

Wie wäre es mal mit ein bißchen Vorarbeit? Welche Konvergenzkriterien kennst Du, welche hast Du ausprobiert, welche Informationen fehlen Dir, um ein bestimmtes anwenden zu können?





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konvergenz: Idee zur b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Mi 05.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Anna!


Bei der 2. Reihe würde ich auf jeden Fall im Nenner [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] ausklammern und kürzen.

Anschließend riecht es doch eindeutig nach Majoranten- oder Minoranten-Kriterium ...


Gruß
Loddar


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konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:58 Mi 12.09.2007
Autor: anna_h

Leider kann ich mit diesen Hilfen nichts anfangen. Ich brache leider den Wink mit dem Zaunpfahl.


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konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:57 Mi 12.09.2007
Autor: Somebody


> Leider kann ich mit diesen Hilfen nichts anfangen. Ich
> brache leider den Wink mit dem Zaunpfahl.
>  

Du kannst den Faktor [mm] $n^4$ [/mm] des Radikanden des Nenners ausklammern und dann einen Faktor [mm] $n^2$ [/mm] aus dieser Wurzel ziehen sowie gegen [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] des Zählers kürzen.
Ergibt: [mm] $\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^{3/2}\wurzel{1+\bruch{4}{n^2}-\bruch{4}{n^4}}}$. [/mm]
Zudem konvergiert die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch{1}{n^{3/2}}$ [/mm] (bekanntlich). Für genügend grosses $n$ ist auch sicherlich der Faktor [mm] $\frac{1}{\wurzel{1+\bruch{4}{n^2}-\bruch{4}{n^4}}}$ [/mm] kleiner als, z.B. die Konstante $2$. Damit ist es möglich, Deine Reihe durch die konvergente Reihe [mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch{2}{n^{3/2}}$ [/mm] zu majorisieren.

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konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:54 Mi 26.09.2007
Autor: anna_h

Das ist einleuchtend. Danke. Kann ich das auch mit dem Konvergenzkriterium zeigen?
Weil bei Aufgabenteil a) geht das nicht so.

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konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Mi 26.09.2007
Autor: cutter

Hi
Somebody hat es doch bis zum Ende beantwortet.
Das Konvergenzkriterium ist in diesem Fall das Majorantenkriterium.
Falls du nicht mehr weisst wie es aussieht, dann schau mal bei Wikipedia nach.
Gruß

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konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:07 Mi 26.09.2007
Autor: anna_h

Danke für deine Antwort. Ich glaube ich habe mich falsch ausgedrückt. Ich kann die ganze Sache nicht auf a) anwenden.

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konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Mi 26.09.2007
Autor: statler

Hi Anna!

> Danke für deine Antwort. Ich glaube ich habe mich falsch
> ausgedrückt. Ich kann die ganze Sache nicht auf a)
> anwenden.

Ich so auch nicht! Aber a) kann man vielleicht anders beikommen. Schreib dir doch mal die ersten 6 Summanden hin und überleg dir, wie es dann weitergeht. Wg. des Faktors 1/n könnte es eine Minorante geben und das Ding divergiert oder Loddars Vermutung bewahrheitet sich und Leibniz greift und hat Konvergenz zur Folge.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter



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konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:32 Mi 26.09.2007
Autor: anna_h

Also der sinusterm geht ja trotz dem [mm] \bruch{n*\pi}{3} [/mm] zwischen 0 und 1 hin und her. Und der Faktor [mm] \bruch{1}{n} [/mm] lässt dann die sache gegen null laufen. oder nicht? Das sagt mir mein Bauch. Aber der täucht sich ja auch mal*lol*

Bezug
                                                                        
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konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Mi 26.09.2007
Autor: statler


> Also der sinusterm geht ja trotz dem [mm]\bruch{n*\pi}{3}[/mm]
> zwischen 0 und 1 hin und her. Und der Faktor [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> lässt dann die sache gegen null laufen. oder nicht? Das
> sagt mir mein Bauch. Aber der täucht sich ja auch mal*lol*

Nee Anna, nicht zwischen 0 und 1, der Sinus-Term nimmt 3 verschiedene Werte an, was du merken würdest, wenn du mal ein paar Summanden hinschreibst.

Gruß
Dieter



Bezug
                                                                                
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konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:47 Mi 26.09.2007
Autor: anna_h

Ja.Sry.
0
0.866
-08.866
Aber wenn n groß genug ist, läuft die sache gegen null. Aber einpaar Funktionswert sind größer Null ander kleiner Null. Aber alle gehen gegen Null.

Bezug
                                                                                        
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konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:50 Mi 26.09.2007
Autor: torstenkrause

-0,866 soll das heißen

Bezug
                                                                                                
Bezug
konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:52 Mi 26.09.2007
Autor: anna_h

Ja. Merci

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Bezug
konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:53 Mi 26.09.2007
Autor: cutter

Naja...die harmonische Reihe konvergiert auch auf den ersten Blick gegen Null, da 1/n immer kleiner wird....aber man kann eben zeigen, dass sie divergiert.
Also musst du dir schon noch etwas einfallen lassen um es zu beweisen!

Bezug
                                                                                        
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konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Mi 26.09.2007
Autor: leduart

Hallo
guck dir nochmal loddars ersten post an, und dann das Leibnitzkriterium.
Dass die Summanden ne Nullfolge bilden ist nur notwendig, nicht hinreichend für Konvergenz!
Gruss leduart

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