konvergenz--- < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo leute,
wird ein bischen lang der artikel, ist aber ein simples thema fuer mathecracks wie euch ! *schäm*
kurz zur einleitung, ich habe verstanden, das es fuer grenzwertaussagen es wichtig ist einen index in abhaengigkeit zu einem
epsilon zu finden, das geht fuer die folge
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] -> 0
ziemlich einfach ....
und zwar geht das einfach durch das loesen der ungleichung
[mm] \bruch{1}{x}<\epsilon [/mm] | kehrwert bilden ( achtung relation wechselt )
[mm] \bruch{x}{1}>\bruch{1}{\epsilon} [/mm]
damit ist man auch schon fertig ... also:
wähle n mit der eigenschaft [mm] n>1/\epsilon
[/mm]
kurzer test fuer [mm] \epsilon=\bruch{1}{2}
[/mm]
wähle n das die relation [mm] n\ge2 [/mm] erfüllt ... nehmen wir 2 ergibt, 1/2=1/2 gut,
nun zu meiner eigentlichen frage ...
und zwar, was mache ich, wenn im nenner und im zaehler n's stehen ?!?!?!??!?!?
also z.b.
[mm] \bruch{n}{m}\le \epsilon
[/mm]
n und m sollen in diesem fall beliebige terme darstellen
bringt mir das wenn ich dann eine ungleichungskette mache, in der art von :
[mm] \bruch{n}{m}\le\bruch{n}{m-1}\le...\le\bruch{n}{1}\le \epsilon [/mm] ?????????????
dann hat man ja [mm] n\le \epsilon [/mm] da stehen, das fuehrt aber irgendwie zu schwachsinnigen ergebnisssen ... hilfäää
die aufgabe um die es sich dreht ist folgende .
zeige das [mm] \bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\rightarrow0
[/mm]
so leute, das die folge gegen 0 strebt erleichtert uns die sache ein wenig, wir koennen direkt schreiben :
[mm] \bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\le\epsilon
[/mm]
sodale, nun faengt der schlamassel schon an ... meine tollen gelernten sachen zum thema grenzwerte kann ich nun schon nicht mehr anwenden, denn wie kriege ich nun das n aus dem verflixten zaehler ?!?!?!?
mit meiner tollen ungleichungskette wuerde ich schreiben:
[mm] \bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\le\bruch{n^2+n+2}{4n^3}\le\bruch{n^2+n+2}{4n}\le\bruch{n^2+n+2}{1}\le\epsilon
[/mm]
welche bis zu dem letzten element sicherlich sinn macht, denn verkleinern des nenners vergroessert den wert, oder irre ich da ?!?!?
weitere ueberlegungen
[mm] n^2+n+2\le\epsilon
[/mm]
so, suche ich nun ein n welches obige gleichung fuer [mm] \epsilon=\bruch{1}{2} [/mm] erfüllt, so nehme ich die 1 ....
wie wir untenstehender tabelle entnehmen koennen ist aber der funktionswert an der stelle 1 0.8, also groesser als 1
hier mal kurz die ersten zehn glieder der folge:
0 -> 2
1 -> 0.8
2 -> 0.24242424242424243
3 -> 0.12844036697247707
4 -> 0.08560311284046693
5 -> 0.06387225548902195
6 -> 0.05086705202312139
7 -> 0.04224326292789512
8 -> 0.03611517813567594
9 -> 0.03153925265683922
10 -> 0.02799300174956261
es ist wie immer schrecklich, wahrscheinlich habe ich wieder was falsch angewendet, bzw. nicht verstanden?
was nun ?
p.s. es tut mir leid das ich euch mit so trivialen fragen nerve, aber irgendwie schaffe ich es nicht leute im realen leben zu finden mit denen mann sinnvoll lernen kann, wenn man mit zu guten lernt machen die immer und mann sitzt daneben und nickt jajaja, habe ich verstanden, zu schlechte leute koennen nichts erklaeren, und die meisten uebungsbuecher haben zwar viele beispiele, aber nur wenige loesungen, und vor allen dingen keine hotline die mann anrufen kann ... -sorry
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:40 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Vassago |
Mohoin ehrlichbemuehter - wat'n Nick *g*
Ich weiß nicht, was du mit deinem Epsilon willst. Ist mir bis dato nie begegnet, was aber auch daran liegen mag, dass ich nur Mathe-LK im 13 Jhg. bin.
Grenzwerte aufteilen ist immer hübsch;
z.B. für Summen gilt ja
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[ [/mm] f(n)+g(n) ] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[ [/mm] f(n)] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[ [/mm] g(n)] $
Machen wir doch also - bevor wir irgendetwas mit Grenzwerten überhaupt anfangen:
$ [mm] \bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}=\bruch{n^2}{4n^3+1}+\bruch{n}{4n^3+1}+\bruch{2}{4n^3+1}$
[/mm]
Nun würde ich jeweils den Zähler nach unten bringen durch Erweitern mit dem Kehrwert
[mm] $\bruch{n^2*\bruch{1}{n^2}}{(4n^3+1)*\bruch{1}{n^2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4n+\bruch{1}{n^2}}$
[/mm]
Analog würde ich fortfahren. Wie gesagt, dein Epsilon - noch nie gesehen - aber wenn du nachweisen kannst, dass 1/n gegen 0 strebt für n-->oo, schaffst du's hier über aufteilen bestimmt *g*
P.S.: Der Mathe-Raum ist so konzipiert, dass jeder jederzeit fragen kann, warum also nicht auch solches  Ich glaube nicht, dass sich ernsthaft jemand hier jemals von einer Frage gestört gefühlt hat *g*
Und dass du immer bloß die Guten, die alles selbst machen, oder die schlechten, die nicht erklären können, findest, ist natürlich ein Problem.
Ich denke schon, dass die Guten aus unserem LK auch "richtig schlechten" vernünftig erklären können und es auch wirklich versuchen.
CU
Vassago
|
|
|
| |
|
danke schonmal fuer die hilfe, das mit dem erweitern des kehrwerts ist mir zwar immer ein wenig suspekt, weil das auf
viel schreibarbeit hinauslaeuft, aber vielleicht sollte ich das mal machen ...
aber das du noch nichts von dem epsilon in dem zusammenhang gehoert hast wundert mich schon ein wenig ... es geht ja darum ein N zu finden fuer das alle n>N gilt
an-grenzwert<epsilon
wobei das epsilon eine beliebige zahl sein kann, vornehmlich aber eine die beliebig nahe an 0 drannkommt
wie gesagtr, fuer 1/n sieht das N halt so aus
N=1/e
fuer epsilon = 1/2 ist das N halt die naechste ganze zahl die die dabei rauskommt ...
1/(1/2) = 2/1 = 2
fuer alle n >N =2 gilt nun halt das alle werte KLEINER als 1/2 sind, so ein n kann man halt wenn man es checkt fuer JEDE KONVERGENTE folge finden....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Soldi01 |
Das der vorschreiber nichts von einem [mm] \varepsilon [/mm] gehört hat, liegt wahrscheinlich daran das er noch das Schulmathe hat, ich habe in der schule auch nichts vom [mm] \varepsilon [/mm] gehört.
Die Lösung dieses Problems was du beschrieben hast würd mich auch interessieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo ehrlichbemuehter!
Bin gerade wieder da, muss aber gleich wieder weg...
> danke schonmal fuer die hilfe, das mit dem erweitern des
> kehrwerts ist mir zwar immer ein wenig suspekt, weil das
> auf
> viel schreibarbeit hinauslaeuft, aber vielleicht sollte ich
> das mal machen ...
>
> aber das du noch nichts von dem epsilon in dem zusammenhang
> gehoert hast wundert mich schon ein wenig ... es geht ja
> darum ein N zu finden fuer das alle n>N gilt
>
> an-grenzwert<epsilon
Das stimmt so nicht, da fehlt der Betrag. Wenn du nachweisen willst, dass die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegen den Grenzwert $g$ konvergiert, dann mußt du für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [m]N=N_{\varepsilon} \in \IN[/m] finden, so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $|a_n-g|<\varepsilon$.
[/mm]
Die Folgenglieder der Folgen, die du angegeben hattest, waren schon [mm] $\ge [/mm] 0$ (für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] es hätte auch gereicht, wenn sie ab einem gewissen [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] alle [mm] $\ge [/mm] 0$ gewesen wären) und der Grenzwert $g$ war $=0$, daher hatte es bei dir ausgereicht, nachzuweisen, dass ab einem gewissen $N$ immer galt: [mm] $a_n [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm]
Denn:
Wie bereits gesagt gilt bei dir [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] und $g=0$, und daher:
[mm] $|a_n-g|=|a_n-0|=|a_n|=a_n$.
[/mm]
> wobei das epsilon eine beliebige zahl sein kann,
> vornehmlich aber eine die beliebig nahe an 0 drannkommt
>
> wie gesagtr, fuer 1/n sieht das N halt so aus
>
> N=1/e
Das stimmt so auch nicht. Was wäre denn mit [mm] $\varepsilon=\frac{1}{\wurzel{2}}$? [/mm] Dann wäre dein [mm] $N=\wurzel{2} \notin \IN$, [/mm] also gar keine natürliche Zahl...
Wenn du so ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] schon explizit angeben willst, dann mit der Gaußklammer $[.]$:
[mm] $N:=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$. [/mm]
(Ferner ginge auch jede größere natürliche Zahl, d.h. du hättest auch wählen können:
[m]N:=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+2[/m] oder [m]N:=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+3[/m] oder [m]N:=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+4[/m] oder [m]N:=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+5[/m] oder ...)
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo ehrlichbemühter!
> die aufgabe um die es sich dreht ist folgende .
>
> zeige das [mm]\bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\rightarrow0
[/mm]
>
>
> so leute, das die folge gegen 0 strebt erleichtert uns die
> sache ein wenig, wir koennen direkt schreiben :
>
> [mm]\bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\le\epsilon
[/mm]
Du mußt natürlich auch einen gewissen Blick dafür bekommen, wie du abschätzen mußt, wenn du das ganze mit der Epsilontechnik machen willst. Ich muss gleich weg, deswegen schreibe ich dir einfach mal die Abschätzung(en) (schrittweise) hin:
Sei wie bei dir [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben. Zunächst schätzen wir ab:
1.) [m]\bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\le \bruch{n^2+n+2}{4n^3}[/m].
Diese Abschätzung gilt natürlich für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und ich denke, dazu muss ich keine große Begründung mehr angeben (andernfalls frage bitte nach!).
2.) [m]\bruch{n^2+n+2}{4n^3}\le \bruch{n^2+n+n}{4n^3}
=\bruch{n^2+2n}{4n^3}[/m].
Dies gilt jedenfalls für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$.
3.) Da für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] auch [mm] $n^2 \ge [/mm] n$ gilt, erhalten wir:
[m]\bruch{n^2+2n}{4n^3}\le\bruch{n^2+2n^2}{4n^3}
=\bruch{3n^2}{4n^3}=\bruch{3}{4}*\frac{1}{n}[/m].
Somit folgt:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt:
[mm] $\blue{(\star)}$[/mm] [mm]\bruch{n^2+n+2}{4n^3+1} \stackrel{1.)}{\le} \bruch{n^2+n+2}{4n^3}\stackrel{2.)}{\le}\bruch{n^2+2n}{4n^3}
\stackrel{3.)}{\le}\bruch{3}{4}*\frac{1}{n}[/mm] [mm] ($\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2$).
Da die Folge [mm] $\left(\left(\frac{3}{4}*\frac{1}{n}\right)\right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist, gibt es zu jedem [m]\varepsilon > 0[/m] ein [mm] $N=N_{\varepsilon} \in \IN$, [/mm] so dass:
[mm] $\frac{3}{4}*\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$.
Dann gilt aber wegen [mm] $\blue{(\star)}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N^{\*}=N^{\*}_{\varepsilon}:=\max\{2;\,N\}$:
[/mm]
[m]\bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\le \bruch{3}{4}*\frac{1}{n} < \varepsilon[/m].
So, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , aber ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]") ... Versuch mal die Abschätzungen nachzuvollziehen...
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Sei wie bei dir [mm]\varepsilon > 0[/mm] gegeben. Zunächst schätzen
> wir ab:
>
> 1.) [m]\bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\le \bruch{n^2+n+2}{4n^3}[/m].
>
> Diese Abschätzung gilt natürlich für alle [mm]n \in \IN[/mm] und ich
> denke, dazu muss ich keine große Begründung mehr angeben
> (andernfalls frage bitte nach!).
*freu* das hab ich doch auf gemacht, ich habe halt nur den nenner auf eins gebracht, was
zwar sicherlich eine gültige ungleichungskette war, nur leider nicht nuetzlich fuer diesen fall !
>
> 2.) [m]\bruch{n^2+n+2}{4n^3}\le \bruch{n^2+n+n}{4n^3}
> =\bruch{n^2+2n}{4n^3}[/m].
>
> Dies gilt jedenfalls für alle [mm]n \ge 2[/mm].
das sehe ich ein ...
>
> 3.) Da für alle [mm]n \in \IN[/mm] auch [mm]n^2 \ge n[/mm] gilt, erhalten
> wir:
> [m]\bruch{n^2+2n}{4n^3}\le\bruch{n^2+2n^2}{4n^3}
> =\bruch{3n^2}{4n^3}=\bruch{3}{4}*\frac{1}{n}[/m].
>
hier bin ich etwas verwirrt, wegen der ungleichungskette, man macht doch eigentlich nicht
ungleichungsketten mit verschiedenen groesser kleiner zeichen oder ?
also den rest verstehe ich nun, mir war nur nicht so ganz klar wie ich die abschaetzung handlicher machen kann !
das problem war wohl, das ich die folge nicht gegen eine nullfolge abgeschaetzt habe ....
[mm] \bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\le\bruch{n^2+n+2}{4n^3}\le\bruch{n^2+n+2}{4n}\le\bruch{n^2+n+2}{1}\le\epsilon
[/mm]
:(
danke
p.s.: wie mache ich smileys hier !??!?!?!? bzw. wo ist die smiley liste ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo ehrlichbemuehter!
> > Sei wie bei dir [mm]\varepsilon > 0[/mm] gegeben. Zunächst
> schätzen
> > wir ab:
> >
> > 1.) [m]\bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\le \bruch{n^2+n+2}{4n^3}[/m].
> >
>
> > Diese Abschätzung gilt natürlich für alle [mm]n \in \IN[/mm] und
> ich
> > denke, dazu muss ich keine große Begründung mehr angeben
>
> > (andernfalls frage bitte nach!).
>
> *freu* das hab ich doch auf gemacht, ich habe halt nur den
> nenner auf eins gebracht, was
> zwar sicherlich eine gültige ungleichungskette war, nur
> leider nicht nuetzlich fuer diesen fall !
Eben, das war nutzlos !
>
> >
> > 2.) [m]\bruch{n^2+n+2}{4n^3}\le \bruch{n^2+n+n}{4n^3}=\bruch{n^2+2n}{4n^3}[/m].
>
> >
> > Dies gilt jedenfalls für alle [mm]n \ge 2[/mm].
>
>
> das sehe ich ein ...
>
> >
> > 3.) Da für alle [mm]n \in \IN[/mm] auch [mm]n^2 \ge n[/mm] gilt, erhalten
>
> > wir:
> > [m]\bruch{n^2+2n}{4n^3}\le\bruch{n^2+2n^2}{4n^3} >=\bruch{3n^2}{4n^3}=\bruch{3}{4}*\frac{1}{n}[/m].
> >
>
> hier bin ich etwas verwirrt, wegen der ungleichungskette,
> man macht doch eigentlich nicht
> ungleichungsketten mit verschiedenen groesser kleiner
> zeichen oder ?
Natürlich nicht. Wenn du nochmal ins Original guckst, siehst du auch, dass da nicht [m]\bruch{n^2+2n}{4n^3}\le\bruch{n^2+2n^2}{4n^3} \red{>=}\bruch{3n^2}{4n^3}=\bruch{3}{4}*\frac{1}{n}[/m] steht (also das rote "Größergleichzeichen" steht gar nicht da) , sondern:
[m]\bruch{n^2+2n}{4n^3}\le\bruch{n^2+2n^2}{4n^3} \green{=}\bruch{3n^2}{4n^3}=\bruch{3}{4}*\frac{1}{n}[/m]
Das ">=" ist wegen der Zitierfunktion "entstanden". Und wenn ich ein Größergleich hätte benutzen wollen, dann so: [mm] $\ge$. [/mm]
Und dieses grüne Gleichheitszeichen gilt halt, weil:
[mm] $n^2+2n^2=3n^2$.
[/mm]
Bitte immer das Original lesen ...
> also den rest verstehe ich nun, mir war nur nicht so ganz
> klar wie ich die abschaetzung handlicher machen kann !
>
>
> das problem war wohl, das ich die folge nicht gegen eine
> nullfolge abgeschaetzt habe ....
Ja, das war ein großes Problem .
> danke
Bitte  !
> p.s.: wie mache ich smileys hier !??!?!?!? bzw. wo ist die
> smiley liste ?
Links in der Leiste findest du das Wort "Smileys" zum anklicken, dann gelangst du zu:
https://matheraum.de/smileys
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marcel!
> Links in der Leiste findest du das Wort "Smileys"
Nein, diese Leiste ist nur für Koordinatoren freigeschaltet.
> https://matheraum.de/smileys
Der Link könnte trotzdem funktionieren (weiß ich gerade nicht, ich denke aber schon). Ich bin eh dafür alle Smileys freizuschalten.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Nam |
> so leute, das die folge gegen 0 strebt erleichtert uns die
> sache ein wenig, wir koennen direkt schreiben :
>
> [mm]\bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\le\epsilon
[/mm]
>
> sodale, nun faengt der schlamassel schon an ... meine
> tollen gelernten sachen zum thema grenzwerte kann ich nun
> schon nicht mehr anwenden, denn wie kriege ich nun das n
> aus dem verflixten zaehler ?!?!?!?
>
> mit meiner tollen ungleichungskette wuerde ich schreiben:
>
>
> [mm]\bruch{n^2+n+2}{4n^3+1}\le\bruch{n^2+n+2}{4n^3}\le\bruch{n^2+n+2}{4n}\le\bruch{n^2+n+2}{1}\le\epsilon
[/mm]
Das darfst du so gar nicht machen. Die letzte Relation [mm]\le\epsilon[/mm] ist mit Sicherheit falsch.
[mm]\bruch{n^2+n+2}{4n}[/mm] und [mm]\bruch{n^2+n+2}{1}[/mm] gehen nämlich nicht gegen [mm]0[/mm].
Die Abschätzung ist einfach viel zu stark.
Was Marcel gemacht hat, ist, dass er die Folge gegen eine andere (nach oben beschränkte und konvergente Folge) [mm]\frac{1}{n}[/mm] nach oben abgeschätzt hat.
|
|
|
|
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
...
