konvergente Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Sa 13.05.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei die Reihe
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}+(-1)^{n}} [/mm] |
Mir fehlt irgendwie die Erleuchtung.Meine Ansätze mit dem Quotientenkriterium führen auf
[mm] \bruch{\wurzel{n}+(-1)^{n}}{\wurzel{n+1}+(-1)^{n+1}} [/mm]
Weiter komme ich dann aber nicht.
Kann mir einer weiterhelfen?
Danke schon mal!
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Auf den ersten Blick schaut das sehr stark nach Leibniz aus. Den Satz kennst du ja wahrscheinlich schon: Also Monotonie und Beschränktheit zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Sa 13.05.2006 | | Autor: | papillon |
Montonie und Beschränktheit? Eigentlich müsste man doch nach dem Leibnizkriterium zeigen, dass es sich um eine monotone Nullfolge handelt.
Durch abschätzung kann ich auch zeigen, dass es sich um eine nullfolge handelt, aber diese ist leider wegen dem [mm] (-1)^{n} [/mm] im nenner nicht monoton fallend.
Wie geht's also weiter?
Danke schon mal für die prompte hilfe!
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Hallo papillon,
Ich würde versuchen 2 aufeinanderfolgende Reihenglieder zu einem Zusammen zu fassen.
Also:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{n}+1}+\bruch{-1}{\wurzel{n}-1}=...[/mm]
Ich nehme an da kommt eine divergente Reihe raus.
viele Grüße
mathemaduenn
Edit auf Loddars Kritik hin: Es ist nicht ganz so einfach. Weil dort
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}+1}+\bruch{-1}{\wurzel{n+1}-1}
[/mm]
stehen muß. Also neuer Versuch:
[mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}+(-1)^n}=
\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{2*n}+1}+\bruch{-1}{\wurzel{2*n+1}-1}[/mm]
Da die Summenglieder negativ sind multipliziert man zunächst mit -1 dann gilt:
[mm]\bruch{-1}{\wurzel{2*n}+1}+\bruch{1}{\wurzel{2*n+1}-1} \ge \bruch{-1}{\wurzel{2*n}}+\bruch{1}{\wurzel{2*n+1}-1}=\bruch{\wurzel{2*n+1}-\wurzel{2*n}+1}{2*n}\ge \bruch{1}{2*n}[/mm]
Also Divergenz mit dem Minorantenkriterium.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Do 18.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathemaduenn!
Eine ähnliche Idee hatte ich auch schon. Aber muss es nicht heißen:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{n}+1}+\bruch{-1}{\wurzel{n\red{+1}}-1}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Da haste natürlich recht.
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Da muß ich wohl nochmal den Kochlöffel schwingen und etwas Minorantenkriterium ranwerfen. Ich hoffe mal das klappt
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Fr 19.05.2006 | | Autor: | papillon |
Ok, danke für eure tipps. Aber ich hatte inzwischen auch ne idee:
Man multipliziert zur 3. binomischen formel durch:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}+(-1)^{n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}\wurzel{n}-1}{n-1}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}\wurzel{n}}{n-1} [/mm] - [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n-1}
[/mm]
Jetzt sieht man, dass nach leibniz die erste summe konvergiert, die zweite jedoch divergiert ( Wie würdet ihr das begründen? Sie sieht der harmonischen reihe sehr ähnlich oder so?).
==> Die ganze Reihe divergiert folglich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo papillon!
Dieser Ansatz sieht doch auch sehr gut und vielversprechend aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Allerdings musst Du noch zeigen, um das Leibniz-Kriterium anwenden zu können, dass [mm] $\bruch{\wurzel{n}}{n-1}$ [/mm] auch monoton fallend ist (die Eigenschaft als Nullfolge sieht man ja schnell).
Gruß
Loddar
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