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| Aufgabe | Es sei [mm] a_{n}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Zeige, dass dann die Folge [mm] b_{n}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] b(n)=\bruch{1}{n} [/mm] * [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] +...+ [mm] a_{n})
[/mm]
ebenfalls den Grenzwert a besitzt.
Hinweis: Führe die Aussage auf den Spezialfall a=0 zurück und beweise diesen. |
Kann mir da jemand nen Tipp zu geben? Ich finde da irgendwie keinen Ansatz. Wäre für jede Hilfe dankbar.
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> Es sei [mm]a_{n},[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] eine konvergente Folge mit
> Grenzwert a. Zeige, dass dann die Folge [mm]b_{n},[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> mit
> [mm]b(n)=\bruch{1}{n}[/mm] * [mm](a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] +...+ [mm]a_{n})[/mm]
Hallo,
unter der Voraussezung, daß [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert [mm] (\varepsilon,N),
[/mm]
würde ich
[mm] |b_n-a|= [/mm] |[mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm](a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] +...+ [mm] a_{n})-a| =\bruch{1}{n}|[/mm] [mm](a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] +...+ [mm] a_{n})-na| =|a_1-a+a_2-a+...+a_n-a|
[/mm]
abschätzen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:58 So 03.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Angela (bzw. eher die Mitleser)
> [mm]|b_n-a|=[/mm] |[mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm](a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] +...+ [mm]a_{n})-a| =\bruch{1}{n}|[/mm]
> [mm](a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] +...+ [mm]a_{n})-na| =|a_1-a+a_2-a+...+a_n-a|[/mm]
Ein kleiner Tippfehler:
Die rechte Seite müsste lauten: [mm] $\ldots=\red{\bruch1n}|a_1-a+a_2-a+...+a_n-a|$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 So 03.12.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | | Was genau soll man da abschätzen??? |
Hallo zusammen,
habe eine ähnliche Aufgabe vorliegen.
Von unserem Dozenten haben wir noch folgenden Tip erhalten:
[mm] |a_n|-|a| \le |a_n- [/mm] a| <1 daraus folgt [mm] |a_n| [/mm] < |a|+1
doch wie kann ich das benutzen? Das hat doch sicherlich mit der Abschätzung zu tun, oder?
Gruß
vicky
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Vicky,
> Was genau soll man da abschätzen???
> Hallo zusammen,
>
> habe eine ähnliche Aufgabe vorliegen.
>
> Von unserem Dozenten haben wir noch folgenden Tip
> erhalten:
> [mm]|a_n|-|a| \le |a_n-[/mm] a| <1 daraus folgt [mm]|a_n|[/mm] < |a|+1
>
> doch wie kann ich das benutzen? Das hat doch sicherlich mit
> der Abschätzung zu tun, oder?
Inwieweit diese Abschätzung (Deines Dozenten) hier hilfereich ist, sehe ich gerade nicht (handelt es sich wirklich um die identische Fragestellung?)
Angelas Abschätzung würde aber so weiter gehen:
Das [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist bereits vorgegeben.
Da [mm] $(a_n)$ [/mm] konvergiert, existiert ein [mm] $N_1\in\IN$ [/mm] so dass [mm] $|a_n-a|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n>N_1$.
[/mm]
Bei dem Term [mm] $\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{N_1} |a_i-a|$ [/mm] handelt es sich für [mm] $n\to\infty$ [/mm] um eine Nullfolge, da die Summe endlich bzw. konstant ist.
Also existiert ein [mm] $N_2\in\IN$ [/mm] so dass [mm] $\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{N_1} |a_i-a|N_2$ [/mm] (hier hätte ich auch [mm] $<\varepsilon$ [/mm] wählen können).
Insgesamt erhalten wir also für Angelas Summe
[mm] $\bruch1n*(a_1-a+a_2-a+\ldots+a_{N_1}-a+\ldots+a_n-a)$
[/mm]
[mm] $\le \underbrace{\bruch1n*(|a_1-a|+|a_2-a|+\ldots+|a_{N_1}-a|)}_{
[mm] $\le \bruch1n*(N_1*\varepsilon+\underbrace{\varepsilon+\ldots+\varepsilon}_{n-N_1 \mbox{ Mal}})$
[/mm]
$= [mm] \bruch1n*(N_1*\varepsilon+(n-N_1)*\varepsilon)$
[/mm]
$= [mm] \bruch1n*(n*\varepsilon)$
[/mm]
$= [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle [mm] $n>\max\{N_1,N_2\}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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