konvergent >> beschränkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Fr 19.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis:
Sei lim [mm] a_n [/mm] = a dann gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] , so dass
| [mm] a_n [/mm] - a | < 1 für alle n <= N
Daraus folgt [mm] |a_n| \le [/mm] |a| + [mm] |a_n [/mm] - a| [mm] \le [/mm] |a| + 1 für n [mm] \ge [/mm] N
Wir setzen M := [mm] max(|a_0|, |a_1|, [/mm] ..., [mm] |a_{N-1}|, |a_N|, [/mm] |a| + 1).
Dann gilt [mm] |a_n| \le [/mm] M für alle n [mm] \in \IN [/mm] q.e.d |
qed ?
Ich bitte euch. Es wurde M = Maximum gesetzt und dann gesagt [mm] |a_n| [/mm] ist immer kleiner gleich M.
Unter sowas würde ich gerne drunter schreiben: "Nichts gezeigt." und dem Verfasser zurück geben.
Warum ist diese stumpfe logik schon ein Beweis?
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Das ist kein Beweis. Weil es ein (unbewiesn postuliertes) Maximum gibt, ist also kein Folgenglied größer.
Das Problem liegt vielleicht nur im Missverständnis der letzten Abkürzung:
lateinisch:
q.e.d.: quod erit denegandum - was abzulehnen/zu bestreiten sein wird
deutsch:
q.e.d.: qualitativ eindeutig defizitär
lg,
reverend
edit: voreilige und falsche Ablehnung. Siehe den weiteren Verlauf der Diskussion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Jorgi |
Das ist doch ein lupenreiner Beweis.
Ab dem N-ten Folgeglied kommen nur noch Glieder, die kleiner sind als $|a| + 1$. Falls es ein Folgeglied gibt, was größer ist als $|a| + 1$, muss es sich unter den [mm] $a_1, [/mm] ... , [mm] a_N$ [/mm] befinden. Dann wählt man die größte Zahl in [mm] $\{a_1, ..., a_N, |a|+1\}$ [/mm] und weiß, dass sie größer ist als jedes Folgeglied.
Und das eine größte zahl in [mm] $\{a_1, ..., a_N, |a|+1\}$ [/mm] existiert ist klar, weil diese Menge endlich ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
Dieser beweis ist sehr wohl richtig, da die Menge aus welcher das Maxiumm genommen wird abzählbar ist.
(ein tippfelher beinhaltet der beweis aber, im folgenden rot markiert:)
> Jede konvergente Folge ist beschränkt.
>
> Beweis:
>
> Sei lim [mm]a_n[/mm] = a dann gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm] , so dass
> | [mm]a_n[/mm] - a | < 1 für alle n >= N
>
> Daraus folgt [mm]|a_n| \le[/mm] |a| + [mm]|a_n[/mm] - a| [mm]\le[/mm] |a| + 1 für n
> [mm]\ge[/mm] N
>
> Wir setzen M := [mm]max(|a_0|, |a_1|,[/mm] ..., [mm]|a_{N-1}|, |a_N|,[/mm]
> |a| + 1).
>
> Dann gilt [mm]|a_n| \le[/mm] M für alle n [mm]\in \IN[/mm] q.e.d
> qed ?
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 02:31 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dieser beweis ist sehr wohl richtig, da die Menge aus
> welcher das Maxiumm genommen wird abzählbar ist.
ersetze abzählbar durch endlich, dann passt es.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:01 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (ein tippfelher beinhaltet der beweis aber, im folgenden
> rot markiert:)
>
>
> > Jede konvergente Folge ist beschränkt.
> >
> > Beweis:
> >
> > Sei lim [mm]a_n[/mm] = a dann gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm] , so dass
> > | [mm]a_n[/mm] - a | < 1 für alle n >= N
was ist daran falsch? Du wirst doch nicht verlangen, dass man da [mm] $\blue{>} [/mm] N$ schreiben sollte. Das ist nämlich beides möglich, da die folgenden Definitionen äquivalent sind:
1) [mm] $a_n \to [/mm] a$: [mm] $\gdw$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a| \le \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$.
2) [mm] $a_n \to [/mm] a$: [mm] $\gdw$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\tilde{N}=\tilde{N}_\epsilon$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a| \le \epsilon$ [/mm] für alle $n > [mm] \tilde{N}$.
[/mm]
(Strenggenommen müsste da stehen: [mm] $(a_n)_n$ [/mm] heißt konvergent, wenn ein $a$ existiert, so dass gilt: Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\epsilon$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt [mm] $|a_n-a| \le \epsilon$. [/mm] Wir sagen dann auch, [mm] $(a_n)_n$ [/mm] sei konvergent gegen $a$ und bezeichnen $a$ als den Grenzwert der Folge [mm] $(a_n)_n$, [/mm] im Zeichen [mm] $a=:\lim_{n \to \infty}a_n\,.$ [/mm] Insbesondere wäre die Eindeutigkeit eines Grenzwertes zu zeigen, was aber schnell mit der Dreiecksungleichung abgetan werden kann!)
Denn:
Wenn 1) gilt, dann habe ich zu [mm] $\epsilon$ [/mm] solch ein $N$ gefunden und dann setze ich [mm] $\tilde{N}:=N$ [/mm] und fertig.
Wenn 2) gilt, dann finde ich zu [mm] $\epsilon$ [/mm] ein [mm] $\tilde{N}$. [/mm] Dann setze ich [mm] $N:=\tilde{N}+1$ [/mm] und fertig.
Also ich hoffe wirklich, dass das nicht Dein "Tippfehler" war, auf den Du aufmerksam machen wolltest. Das ist total unnötig, da $> N$ und [mm] $\ge [/mm] N$ zu unterscheiden. Ebenso kann man hier anstatt [mm] $\le \epsilon$ [/mm] auch immer $< [mm] \epsilon$ [/mm] schreiben.
Also ob vor dem [mm] $\epsilon$ [/mm] ein $<$ oder [mm] $\le$ [/mm] steht, ist genauso egal, wie ob da $n [mm] \ge [/mm] N$ oder $n > N$ steht. Wodrauf man nur achten sollte: Da steht "Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$". Da darf man nicht einfach "Für alle [mm] $\epsilon \ge [/mm] 0$" draus machen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 So 21.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hi, im original-title steht
| $ [mm] a_n [/mm] $ - a | < 1 für alle n <= N
anstatt korrekt:
| $ [mm] a_n [/mm] $ - a | < 1 für alle n >= N
Gruß,
Rutzel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:45 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jede konvergente Folge ist beschränkt.
>
> Beweis:
>
> Sei lim [mm]a_n[/mm] = a dann gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm] , so dass
> | [mm]a_n[/mm] - a | < 1 für alle n <= N
>
> Daraus folgt [mm]|a_n| \le[/mm] |a| + [mm]|a_n[/mm] - a| [mm]\le[/mm] |a| + 1 für n
> [mm]\ge[/mm] N
>
> Wir setzen M := [mm]max(|a_0|, |a_1|,[/mm] ..., [mm]|a_{N-1}|, |a_N|,[/mm]
> |a| + 1).
>
> Dann gilt [mm]|a_n| \le[/mm] M für alle n [mm]\in \IN[/mm] q.e.d
> qed ?
>
> Ich bitte euch. Es wurde M = Maximum gesetzt und dann
> gesagt [mm]|a_n|[/mm] ist immer kleiner gleich M.
>
> Unter sowas würde ich gerne drunter schreiben: "Nichts
> gezeigt." und dem Verfasser zurück geben.
dann hast Du den Sachverhalt nicht verstanden. Das ganze ist i.W. ein Existenzbeweis, und jeder Beweisschritt läßt sich begründen:
Die Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen $a$ besagt, dass es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N_\epsilon$ [/mm] so gibt, dass [mm] $|a_n-a| \le \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_\epsilon\,.$
[/mm]
Insbesondere gibt es zu [mm] $\epsilon:=1 [/mm] > 0$ solch ein [mm] $N_1$, [/mm] wir nennen es kurz [mm] $N:=N_1$ [/mm] (das $N$ ist ab hier also stets fest, da wir ja auch [mm] $\epsilon=1$ [/mm] festhalten!).
Für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt also [mm] $|a_n-a| \le [/mm] 1$, was nach der Dreiecksungleichung [mm] $|a_n|=|a_n-a+a| \le [/mm] 1+|a|$ zur Folge hat.
Die Menge [mm] $\mathcal{M}:=\{|a_1|,\;...,|a_{N-1}|,\,|a_{N}|,\,|a|+1\}$ [/mm] ist eine endliche Menge (sie besteht aus höchstens $N+1$ Elementen!). Sie hat daher sicherlich ein Minimum, aber auch, was hier viel wichtiger ist, insbesondere ein Maximum. Folglich existiert [mm] $M:=\max \mathcal{M}\,$ [/mm] und $M$ ist eine Zahl in [mm] $\IR_{\ge 1}\,.$
[/mm]
Wir zeigen, dass $M$ eine Schranke für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist: Nach Definition von $M$ gilt $M [mm] \ge |a|+1\,.$
[/mm]
Für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt [mm] $|a_n| \le [/mm] |a|+1 [mm] \le [/mm] M$ (s.o.). Für alle $n [mm] \le [/mm] N$ gilt aber auch
[mm] $$|a_n|=\max\{|a_n|\}\underset{\text{da }\{|a_n|\} \subset \mathcal{M}}{\le} \max \mathcal{M}=\max\{|a_1|,...,|a_n|,...,|a_{N-1}|,\,|a_N|+1\}=M\,,$$ [/mm]
und demnach gilt [mm] $|a_n| \le [/mm] M$ für alle $n [mm] \in \IN=\{n \in \IN:n \le N\} \cup \{n \in \IN: n \ge N\}\,.$
[/mm]
Das einzige, was wirklich wichtig ist, und was man beachten sollte:
Das $N$ ist fest und daher ist die Menge [mm] $\mathcal{M} \subset \IR$ [/mm] endlich, hat also ein Maximum (und auch ein Minimum) in [mm] $\IR$.
[/mm]
P.S.:
Ein Tipp zum Verständnis:
Eine Folge ist (zunächst meist) nichts anderes als eine Abbildung [mm] $\IN \to \IR$ [/mm] (meinetwegen kann man auch [mm] $\IR$ [/mm] durch irgendeine Menge ersetzen; später spielen insbesondere (Halb-)Metrische Räume eine große Rolle). Skizziere Dir mal den Graphen einer konvergenten Folge. Lass' die ruhig anfangs "wild" hin und her springen, aber ab einem genügend großen $N$ sind alle Folgeglieder in einem $1$-Schlauch um |a| enthalten. Dann wirst Du auch sehen, warum man $M$ oben gerade so definiert hat. Und rein Algorithmisch:
Wir wissen nun, dass die [mm] $a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ beschränkt sind. Diese Schranke ist $S:=|a|+1$ (s.o.). Wir prüfen, wie es mit [mm] $a_{N-1}$ [/mm] ausschaut:
Wenn [mm] $|a_{N-1}| \le |a|+1\,,$ [/mm] dann müssen wir $S$ nicht ändern. Andernfalls (falls [mm] $|a_{N-1}| [/mm] > |a|+1$ ist) ersetzen wir das alte $S$ durch [mm] $S:=|a_{N-1}|\,.$ [/mm] Dann erfüllt (das neue) $S$ sicher [mm] $|a_n| \le [/mm] S$ für alle $n [mm] \ge N-1\,.$
[/mm]
Das gleiche Spiel nun mit (dem evtl. neuen) $S$ und [mm] $a_{N-2}$...
[/mm]
Dieses Verfahren wiederholst Du immer wieder, und nach spätestens $N$ Schritten terminiert das Verfahren und Du hast dann so eine obere Schranke für [mm] $(|a_n|)_n$ [/mm] konstruiert.
P.S.:
Ob Du das ganze verstanden hast, zeigt sich, wenn Du beweisen kannst, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist (was im übrigen eh reichen würde, da konvergente Folgen insbesondere Cauchy sind (i.a. gilt aber nicht umgekehrtes)):
Dort sollte dann z.B. so etwas wie [mm] $|a_n| \le |a_n-a_N|+|a_N|$ [/mm] benutzt werden.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Sa 20.12.2008 | | Autor: | reverend |
Gute Erklärung, danke.
Das habe ich jetzt verstanden und sehe, dass ich mich weiter oben geirrt habe.
Der Beweis macht mir aber immer noch keine Freude, was vielleicht nicht an der Vorgehensweise liegt, sondern an der Zielsetzung des Beweises. Es wird gezeigt, dass ab einem gewissen N kein Glied der Folge mehr als 1 vom (anderweitig bewiesenen und nun hier vorausgesetzten) Grenzwert entfernt ist.
Dieser Schritt ist intuitiv formuliert. Wenn er richtig ist, stimmt auch der Rest, aber der Beweis hat hier einen Haken. Warum nicht 2? Warum nicht ein beliebiges [mm] \varepsilon?
[/mm]
Die eigentliche Beschränktheit bzw. eine obere oder untere Schranke (jedes Glied...) wird nicht gezeigt.
Wenn ich die zweifelsohne konvergente Folge
[mm] a_n=(-1)^n*\bruch{17^{137}}{n} [/mm]
habe, hilft mir dieser Beweis absolut nichts.
Beschränktheit im Zusammenhang mit Monotonie dagegen ist eine starke Eigenschaft, wenn die Richtungen zusammenpassen: nach oben beschränkt und monoton wachsend, oder nach unten beschränkt und monoton fallend. Die anderen beiden Möglichkeiten sind ja wieder ohne wesentliche Aussage.
So bleibt mir die Frage, wozu das gezeigt wird.
lg,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Sa 20.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo reverend
Dass viele Leute wenn sie beschränkt zeigen wollen unbedingt ne kleinst untere oder obere Schranke suchen geht an der Idee von beschränkt vorbei. natürlich könnt man in dem beweis statt der 1 auch 1234 schreiben, oder 0,1234.
Natürlich hilft der Beweis auch für deine Folge. unter den ersten N liegt eben dann sowohl die obere als auch die untere Schranke, und dass es bei n gegen [mm] \infty [/mm] nicht drüber kommt hast du zusätzlich.
Der Beweis gilt eben für ALLE konv. Folgen. Unbefriedigend kann er doch nur in dem Sinn sein, dass man das schon vorher "sehen kann"
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Gute Erklärung, danke.
> Das habe ich jetzt verstanden und sehe, dass ich mich
> weiter oben geirrt habe.
> Der Beweis macht mir aber immer noch keine Freude, was
> vielleicht nicht an der Vorgehensweise liegt, sondern an
> der Zielsetzung des Beweises. Es wird gezeigt, dass ab
> einem gewissen N kein Glied der Folge mehr als 1 vom
> (anderweitig bewiesenen und nun hier vorausgesetzten)
> Grenzwert entfernt ist.
>
> Dieser Schritt ist intuitiv formuliert. Wenn er richtig
> ist, stimmt auch der Rest, aber der Beweis hat hier einen
> Haken. Warum nicht 2? Warum nicht ein beliebiges
> [mm]\varepsilon?[/mm]
>
> Die eigentliche Beschränktheit bzw. eine obere oder untere
> Schranke (jedes Glied...) wird nicht gezeigt.
doch, das hier ich gezeigt, vgl. hier. Dort steht, warum dieses $M$ existiert, sogar in [mm] $\IR_{\ge 1}$ [/mm] ist und warum dann [mm] $|a_n| \le [/mm] M$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Es ist nur zu beachten, dass es zwei Fälle gibt:
Es ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \le [/mm] N$ oder mit $n [mm] \ge [/mm] N$.
Lies' alles noch mal ab der von mir geschriebenen Stelle:
"Wir zeigen, dass $ M $ eine Schranke für $ [mm] (a_n)_n [/mm] $ ist:..."
Vll. hast Du aber was missverstanden:
Dass eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] genau dann beschränkt ist, wenn [mm] $(|a_n|)_n$ [/mm] nach oben beschränkt ist, ist fast banal. Wenn [mm] $(|a_n|)_n$ [/mm] aber durch $S > 0$ nach oben beschränkt ist, dann ist es wiederum fast trivial, dass dann $-S [mm] \le a_n \le [/mm] S$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.
Also:
Aus obigem Beweis erschließt sich, dass mit dem dort definierten $M$ (zu [mm] $\epsilon=1$) [/mm] dann $-M [mm] \le a_n \le [/mm] M$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. $-M$ ist dann eine untere, und $M$ eine obere Schranke für [mm] $(a_n)_n$. [/mm]
> Wenn ich die zweifelsohne konvergente Folge
>
> [mm]a_n=(-1)^n*\bruch{17^{137}}{n}[/mm]
>
> habe, hilft mir dieser Beweis absolut nichts.
Warum nicht? Du weißt hier sicherlich, dass ab einem genügend großen $N$ alle Folgeglieder vom Betrage her unter [mm] $\frac{17^{137}}{N}+1$ [/mm] liegen werden. Und "nur" mit den ersten $N$ Folgegliedern haben wir dann noch zu prüfen, ob diese Schranke noch vergrößert werden muss oder nicht (klar, algorithmisch nicht ideal, je nachdem wie groß das $N$ ist; aber ich weiß immerhin, dass ich hier mit einem Algorithmus arbeiten kann, um eine obere Schranke anzugeben, der irgendwann terminiert). Und abgesehen davon ist eine Schranke für diese Folge offensichtlich [mm] $17^{137}$. [/mm] Dass das eine sehr große Zahl ist, spielt keine Rolle...
> Beschränktheit im Zusammenhang mit Monotonie dagegen ist
> eine starke Eigenschaft, wenn die Richtungen
> zusammenpassen: nach oben beschränkt und monoton wachsend,
> oder nach unten beschränkt und monoton fallend. Die anderen
> beiden Möglichkeiten sind ja wieder ohne wesentliche
> Aussage.
>
> So bleibt mir die Frage, wozu das gezeigt wird.
Weil sich diese Eigenschaft durchaus weiter verwerten läßt. Z.B. läßt sich leicht zeigen: In [mm] $\IC$ [/mm] gilt: "Nullfolge mal beschränkte Folge ergibt Nullfolge." Daraus folgt sofort "Nullfolge mal Cauchyfolge=Nullfolge" (ich habe ja schon angedeutet, dass sich zeigen läßt, dass Cauchyfolgen (auch jene, wenn man z.B. nur [mm] $\IQ$ [/mm] zugrundelegt) beschränkt sind), und damit wieder sofort "Nullfolgen mal konvergente Folge=Nullfolge".
Wo das genau einfließt oder einfließen kann, dazu musst Du einfach weiter schauen, wo das in der Theorie verwendet wird. Es gibt sicher mehrere Stellen, wo steht: "Da ... als konvergente Folge insbesondere beschränkt ist, folgt die Existenz eines..."
Wenn Du magst, kannst Du auch gerne anstelle von [mm] $\epsilon=1$ [/mm] ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] >0$ festhalten. Nur bringt Dir das insofern dann nichts wirklich neues. Denn wenn Du dann nachher [mm] $\epsilon_0$ [/mm] verkleinerst, wird sich evtl. das [mm] $N_{\epsilon_0}$ [/mm] dann vergrößern. So dass [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] sich auch vergößert. Zumal man mit der Argumentation dann aufpassen muss, wenn man dann schreiben wollte, dass man $0 < [mm] \epsilon_0 \to [/mm] 0$ laufen lassen wollte. Denn oben wäre dann eigentlich auch [mm] $\mathcal{M}=\mathcal{M}_{\epsilon_0}$.
[/mm]
Und da könnten dann solche Fehler passieren, wie, dass man auf die Idee kommen könnte, zu sagen:
Sei [mm] $\mathcal{M}':=\bigcup_{0 < \epsilon \le \epsilon_0} \mathcal{M}_{\epsilon}$. [/mm] Denn [mm] $\mathcal{M}'$ [/mm] wäre hier i.a. alles andere als endlich und hätte nicht notwendig ein Maximum...
(Man sollte auch die Tatsache beachten, dass für eine konvergente Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] oben nur behauptet wird, dass die Menge der Folgeglieder [mm] $A:=\{|a_n|: n \in \IN\}$ [/mm] beschränkt ist. (Insbesondere nach oben beschränkt; nach unten ist trivial!) Das heißt dann insbesondere, dass $A$ ein Supremum in [mm] $\IR$ [/mm] besitzt. Dieses Supremum muss kein Maximum sein; und wird i.a. auch keines sein, wie die Folge [mm] $(a_n)_n :\equiv \left(1-\frac{1}{n}\right)_n$ [/mm] zeigt!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:01 So 21.12.2008 | | Autor: | reverend |
Danke, Marcel, vor allem für die Mühe, die Du auf diesen Beitrag verwandt hast.
In der Tat hilft er mir, etwas neu zu denken, das ich offenbar vorher nicht durchdrungen hatte. Bis ich dahin komme, mag es auch noch etwas dauern.
Ich arbeite dran...
Herzliche Grüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:44 So 21.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Danke, Marcel, vor allem für die Mühe, die Du auf diesen
> Beitrag verwandt hast.
> In der Tat hilft er mir, etwas neu zu denken, das ich
> offenbar vorher nicht durchdrungen hatte. Bis ich dahin
> komme, mag es auch noch etwas dauern.
>
> Ich arbeite dran...
das ist kein Problem. Vor allem sollte man sich manche Dinge auch nochmal an gewissen Beispielen verinnerlichen. Einfach, damit man auch ein Gefühl für die Sachen bekommt.
Zudem sollte man auch wirklich drauf achten, wo solche Dinge, im weiteren Verlauf der Vorlesung (Theorie), Einfluß nehmen. Z.B. kann es durchaus sein, dass jemand (später) auch einen Beweis notiert, wo nur steht:
Da [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent ist, existiert eine Konstante $M > 0$ mit [mm] $|a_n| \le [/mm] M$ für alle $n [mm] \in \IN$...
[/mm]
Da wird dann der Hinweis auf den Satz "Konvergente Folgen sind beschränkt" ins Spiel gebracht, ohne explizit darauf zu verweisen, weil man dann davon ausgeht, dass die Begründung mittlerweile klar sein sollte...
Deswegen kann es nie schaden, einen Beweis - für sich - auseinanderzunehmen und wirklich jede Begründung dabeizuschreiben (Stichwortartig reicht dann, ich deute das oben auch meist in Klammern an: ... (Dreiecksungleichung)...).
Das ist halt die Sache mit der Mathematik: Wer sie wirklich verstehen und verinnerlichen will, hat (normalerweise) einen (zumindest kleinen) Kampf zu bestreiten. Du weißt ja: "Es gibt keinen Königsweg..."  ( Jedenfalls keinen mir bekannten .)
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Sa 20.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Vielen Dank Marcel, dass du dir so viel Mühe gegeben hast.
Das trägt zum Verständnis bei.
Du hast gesagt es ist ein Existenzbeweis. Ich denke mal das ich diesen Beweis eher als Anleitung nehmen soll um konvergenz zu zeigen. Richtig?
Das Cauchyfolgen konvergieren ist in meinem Kopf zum Beispiel auch wieder klar, nur wäre ein Beweis dazu mit einem Existenzbeweis ausreichend?
Und zu dem Beispiel von (Namen vergessen), würde ich einfach sagen, Fallunterrscheidung für gerade und ungerade n und nach dem ursprünglichen Beweis vorgehen.
Manche kleine Ecken der Mathematik machen mir doch noch zu schaffen, scheinen nicht schlüssig oder von niedriger Qualität.
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Hallo,
ich habe große Schwierigkeiten, Deine Frage zu verstehen.
> Du hast gesagt es ist ein Existenzbeweis. Ich denke mal das
> ich diesen Beweis eher als Anleitung nehmen soll um
> konvergenz zu zeigen. Richtig?
Die Konvergenz wovon zu zeigen?
Du müßtest konkreter werden.
Warum diesen Beweis als "Anleitung"?
> Das Cauchyfolgen konvergieren ist in meinem Kopf zum
> Beispiel auch wieder klar,
So klar ist das aber nicht.
Cauchyfolgen konvergieren in [mm] \IQ [/mm] nämlich nicht unbedingt.
> nur wäre ein Beweis dazu mit
> einem Existenzbeweis ausreichend?
Jeder Beweis, der richtig ist, ist ausreichend. Wenn es Dir gelingt, die Existenz eines Grenzwertes schlüssig nachzuweisen, ist der Beweis geführt.
> Und zu dem Beispiel von (Namen vergessen), würde ich
> einfach sagen, Fallunterrscheidung für gerade und ungerade
> n und nach dem ursprünglichen Beweis vorgehen.
Das Beispiel mit dem vergessenen Namen kenne ich natürlich auch nicht.
> Manche kleine Ecken der Mathematik machen mir doch noch zu
> schaffen,
Wenn es nur kleine Ecken sind, sei froh.
Ich bekomme mehr und mehr den Eindruck, daß mir nur kleine Ecken nicht zu schaffen machen...
> scheinen nicht schlüssig oder von niedriger
> Qualität.
Sicher ist nicht jede der Tatsachen, die Dir im ersten Semester präsentiert wird, eine Offenbarung.
Aber zur Beurteilung irgendwelcher Leistungen gehört generell immer ein gewisses Können und Wissen, nicht nur in der Mathematik.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
neben Angela möchte ich dazu auch noch etwas sagen
> Vielen Dank Marcel, dass du dir so viel Mühe gegeben hast.
>
> Das trägt zum Verständnis bei.
>
> Du hast gesagt es ist ein Existenzbeweis. Ich denke mal das
> ich diesen Beweis eher als Anleitung nehmen soll um
> konvergenz zu zeigen. Richtig?
nein. Dort wird behauptet, dass für jede konvergente Folge eine Schranke existiert. (Achte auf die Formulierung: In dieser heißt das, dass jede konvergente Folge eine Schranke besitzt, und nicht, dass es eine universelle Schranke für eine jede konvergente Folge gibt!). Zudem fängt der Beweis natürlich auch schon an mit:
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] also irgendeine konvergente Folge. Dann existiert zu [mm] $\epsilon=1$ [/mm] ein ...
Nachher wird aus einer Menge [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] ein Maximum genommen. Dazu muss man erstmal ein Argument haben, warum [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] überhaupt ein Maximum hat (das geht, weil $N$ eine endliche Zahl ist und [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] daher eine endliche Menge ist). Warum das so ist, sollte man eigentlich alles direkt in den ersten Vorlesungen bzw. Vorlesungswochen gelernt haben...
> Das Cauchyfolgen konvergieren ist in meinem Kopf zum
> Beispiel auch wieder klar, nur wäre ein Beweis dazu mit
> einem Existenzbeweis ausreichend?
Das kommt darauf an. Wenn Du nur behauptest, dass es konvergente Cauchyfolgen gibt, dann ja. I.A. ist die Behauptung, dass Cauchyfolgen konvergieren, falsch (Bsp.: Babylonisches Wurzelziehen: Damit findet man z.B. eine Folge mit Folgegliedern in [mm] $\IQ$, [/mm] die gegen [mm] $\sqrt{2} \notin \IQ$ [/mm] konvergieren; diese Folge ist als in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folge Cauchy, aber in [mm] $\IQ$ [/mm] nicht konvergent. Und weil [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt, kann man quasi sogar für jedes $r [mm] \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] die Existenz einer Folge [mm] $(q_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] begründen mit [mm] $q_n \to [/mm] r$; aber [mm] $(q_n)_n$ [/mm] ist in [mm] $\IQ$ [/mm] dann Cauchy, aber nicht konvergent).
Weil Cauchyfolgen nicht notwendig konvergent sind, liegt es auch wieder nahe, gewisse metrische Räume einzuführen, in denen Cauchyfolgen auch konvergieren sollen. Diese nennt man dann "vollständige metrische Räume".
Allerdings:
Einfach zu beweisen ist jedoch, dass konvergente Folgen Cauchyfolgen sind. Da braucht man, wenn man [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ hat und [mm] $\epsilon':=\epsilon/2 [/mm] > 0$ betrachtet, nur die Dreiecksungleichung und ein gewisses [mm] $N_{\epsilon'}$, [/mm] dessen Existenz sich dann aus der Cauchyfolgeneigenschaft begründet.
> Und zu dem Beispiel von (Namen vergessen), würde ich
> einfach sagen, Fallunterrscheidung für gerade und ungerade
> n und nach dem ursprünglichen Beweis vorgehen.
Siehe Angela: Gedankenlesen ist nicht meine Stärke und meine Kristallkugel ist gerade in Reparatur. Ich arbeite aber an beidem Aber ernsthaft: Da musst Du konkreter werden
Ansonsten: Bei Fragen: fragen
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 21.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Gott ich glaub jetz hab ich es so langsam. Wie kleinlich man da seien muss.
Nochmal in eigenen Worten der gleiche Beweis:
Jede konvergente Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] ist beschränkt.
Beweis:
Eine Folge heißt konvergent gegen [mm]{a \in \IR}[/mm], falls [mm] $\forall \; \epsilon [/mm] > 0 [mm] \; \exists \; N_{\epsilon} \in \IN \; \forall \; [/mm] n [mm] \ge N_{\epsilon}\ [/mm] :\ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \epsilon [/mm] $ und ist beschränkt, falls [mm] $\exists \; [/mm] M [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \in \IR \; \forall \; [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] \ : \ | [mm] a_n [/mm] | [mm] \le [/mm] M$.
Sei [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent gegen $a$ und [mm] $\epsilon [/mm] = 1$, so gilt nach Definition:
$| [mm] a_n [/mm] - a | < 1 \ [mm] \forall \; [/mm] n [mm] \ge N_\epsilon$
[/mm]
$| [mm] a_n [/mm] - a | < 1$
[mm] $\gdw [/mm] |a| + | [mm] a_n [/mm] - a | < |a| + 1 [mm] \quad [/mm] (Translations-Invarianz)$
[mm] $\gdw [/mm] |a + [mm] a_n [/mm] - a | = [mm] |a_n| [/mm] < |a| + 1 [mm] \quad [/mm] (Dreiecksungleichung)$
[mm] $\Rightarrow |a_n| [/mm] < |a| + 1 \ [mm] \forall \; [/mm] n [mm] \ge N_\epsilon$
[/mm]
Damit lässt sich die Menge [mm] $\mathcal{A} [/mm] := [mm] \{ \; |a_n| \in \IR \ | \ n < N \; \} \cup \{\;|a| + 1\;\}$ [/mm] bilden um ein maximum zu wählen, da alle [mm] $|a_n| [/mm] < |a| + 1$ sind für $n [mm] \ge N_\epsilon$ [/mm] und diese Menge endlich ist. Das maximum dieser Menge sei $M := [mm] max(\mathcal{A})$ [/mm] , so gilt nach Definition von beschränkten Folgen:
[mm] $|a_n| [/mm] < M \ [mm] \forall \; [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] q.e.d.
Wie wichtig es manchmal ist, dass alles ausführlicher geschrieben steht. Vor allem wenn man es zum ersten mal sieht und lernen möchte.
Denke mal das ist so richtig. Hoffe ich doch, weil ich es genau so verstanden habe. Fast das selbe nur wie gesagt: ausführlicher. Mit dem kurzen ganz zu Anfang dieses Threads konnte ich garnichts anfangen.
Wenn ich also so etwas ähnliches nochmal habe, muss ich nur versuchen von der einenn Definition "rechnerisch" auf die andere zu kommen? Zum Beispiel : Jede beschränkt monotone Folge konvergiert. (Beschränktheit und Monotonie -> Konvergenz)
Gruß,
Zod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 So 21.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hi,
> [mm]| a_n - a | < 1 \ \forall \; n \ge N_\epsilon[/mm]
>
> [mm]| a_n - a | < 1[/mm]
> [mm]\gdw |a| + | a_n - a | < |a| + 1 \quad (Translations-Invarianz)[/mm]
>
> [mm]\gdw |a + a_n - a | = |a_n| < |a| + 1 \quad (Dreiecksungleichung)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |a_n| < |a| + 1 \ \forall \; n \ge N_\epsilon[/mm]
>
evtl. meinst du das Richtige, ich kann aus deinen Schritten allerdings nicht die Dreiecksungleichung und die Translationsinvarianz erkennen.
Ich würde so agumentieren:
[mm] |a_n| \stackrel{1)}{=} |a_n-a+a| \stackrel{2)}{<=} |a_n-a|+|a| \stackrel{3)}{<} [/mm] 1 + |a|
Begründungen:
1) "Spiel mit der Null" a-a=0 Durch Addition von 0 verändert sich nichts.
2) Dreiecksungleichung
3) Da die Folge konvergent ist, wissen wir [mm] |a_n-a|<1 [/mm] (oder 2, oder 3 oder... Irgendeine Zahl >0 eben)
Der Rest sieht ganz ok aus. (Sagt ein Physiker, der immer Angst vor den von Natur aus sehr genauen Mathematikern hat, welche immer noch etwas finden )
Gruß,
Rutzel
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