konstruktion von GF(5^4) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 So 12.07.2009 | | Autor: | JuliaF |
| Aufgabe | | Konstruiere Sie [mm] GF(5^4) =Gf(5)(\delta) [/mm] mit Angabe des Minimalpolynoms von [mm] \delta [/mm] über GF(5). |
Hallo,
also ich habe schon gleich am Anfang Probleme ein irreduzibles Polynom zu finden. Ich benötige ja eins vom Grad 4, aber weiß ich auch von denen, dass sie irreduzibel sind, wenn sie keine Nullstelle haben?
Hätte es sonst mit [mm] x^4 [/mm] + 1 probiert. Dann wäre [mm] \delta [/mm] = -1 und das Minimalpolynom wohl eben [mm] x^4+1. [/mm]
Hätte auch noch eine weitere Frage, und zwar weiß ich nur wie ich in [mm] F_5 [/mm] rechne, wenn ich sie als {0,1,2,3,4} mit querbalken schreibe. Aber man kann [mm] F_{5} [/mm] ja auch als {-2,-1,0,1,2} schreiben, nur wie rechne ich dann darin? Wie sieht beispielsweise [mm] 2^3 [/mm] aus? Normalerweise rechne ich ja mit Rest...
Vielen DAnk im Voraus für eine Antwort,
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:20 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia!
> Konstruiere Sie [mm]GF(5^4) =Gf(5)(\delta)[/mm] mit Angabe des
> Minimalpolynoms von [mm]\delta[/mm] über GF(5).
>
> Hallo,
> also ich habe schon gleich am Anfang Probleme ein
> irreduzibles Polynom zu finden. Ich benötige ja eins vom
> Grad 4, aber weiß ich auch von denen, dass sie irreduzibel
> sind, wenn sie keine Nullstelle haben?
Fuer Polynome von Grad 4 geht das nicht: Betrachte z.B. das Polynom $f = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^2$ [/mm] ueber [mm] $\IR$. [/mm] Dies hat keine Nullstelle in [mm] $\IR$, [/mm] da [mm] $x^2 [/mm] + 1 > 0$ ist fuer alle $x [mm] \in \IR$, [/mm] jedoch ist $f$ nicht irreduzibel.
Nun ist es aber so, dass ein Polynom von Grad $n$ genau dann irreduzibel ist, wenn es kein irreduzibles Polynom von Grad [mm] $\le \frac{n}{2}$ [/mm] gibt, welches das Polynom teilt.
Ein Polynom von Grad 4 ist also genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstellen hat und keine irreduziblen Teiler von Grad 2. Wenn du also erstmal alle irreduziblen Polynome von Grad 2 ueber $GF(5)$ aufschreibst (nur die normierten), dann kannst du jeweils ein Polynom von Grad 4 zuerst auf Nullstellen pruefen und wenn es keine gibt, durch alle diese Polynome von Grad 2 teilen um zu sehen ob es einen Rest gibt. Wenn es immer einen Rest gibt, ist das Polynom irreduzibel.
Um geschickter vorzugehen benoetigst du mehr Koerpertheorie (es reicht naemlich zu testen, ob [mm] $x^{5^2} [/mm] - x$ und das Polynom von Grad 4 einen gemeinsamen Teiler haben: haben sie keinen, so ist das Polynom irreduzibel; das darfst du vermutlich aber noch nicht verwenden).
> Hätte es sonst mit [mm]x^4[/mm] + 1 probiert. Dann wäre [mm]\delta[/mm] =
> -1 und das Minimalpolynom wohl eben [mm]x^4+1.[/mm]
Wieso ist [mm] $\delta [/mm] = -1$? Es ist ja $-1 = 4$ ein Element von $GF(5)$, womit das Minimalpolynom $x + 1$ ist.
(Und schliesslich ist $-1$ keine Nullstelle von [mm] $x^4 [/mm] + 1$.)
Allerdings ist [mm] $x^4 [/mm] + 1$ nicht irreduzibel, da [mm] $x^4 [/mm] + 1 = [mm] (x^2 [/mm] + 2) [mm] (x^2 [/mm] + 3)$. Versuch mal lieber [mm] $x^4 [/mm] + 2$.
> Hätte auch noch eine weitere Frage, und zwar weiß ich nur
> wie ich in [mm]F_5[/mm] rechne, wenn ich sie als {0,1,2,3,4} mit
> querbalken schreibe. Aber man kann [mm]F_{5}[/mm] ja auch als
> {-2,-1,0,1,2} schreiben, nur wie rechne ich dann darin? Wie
> sieht beispielsweise [mm]2^3[/mm] aus? Normalerweise rechne ich ja
> mit Rest...
Nun, du rechnest immer noch mit Rest, nur musst du beachten dass $-2 [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] \pmod{5}$ [/mm] und $-1 [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] \pmod{5}$ [/mm] ist, d.h. wenn der Rest 3 rauskommst, schreibst du -2 hin, und wenn der Rest 4 rauskommst, schreibst du -1 hin.
Den Rest kannst du ja auch so bestimmen, dass du solange 5 dazuaddierst oder abziehst bist du ein Ergebnis in [mm] $\{ -2, -1, 0, 1, 2 \}$ [/mm] herausbekommst. (Oder halt in [mm] $\{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$ [/mm] wenn du lieber die Zahlen haben willst. Du kannst auch irgendwelche 5 Zahlen nehmen, deren Differenzen alle nicht durch 5 teilbar sind, etwa [mm] $\{ -10, 6, -3, -12, 19 \}$, [/mm] wenn du Spass daran hast  )
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 13.07.2009 | | Autor: | JuliaF |
Hallo Felix,
vielen Dank erstmal für deine Antwort, nu habe ich noch eins, zwei Fragen...
Du hattest geschrieben:
Um geschickter vorzugehen benoetigst du mehr Koerpertheorie (es reicht naemlich zu testen, ob $ [mm] x^{5^2} [/mm] - x $ und das Polynom von Grad 4 einen gemeinsamen Teiler haben: haben sie keinen, so ist das Polynom irreduzibel; das darfst du vermutlich aber noch nicht verwenden).
Gibt es dazu einen Satz? Vielleicht dürfte ich das ja schon... Und wieso sollte es gerade [mm] x^5^2 [/mm] -x sein?
Gehe also erstmal aus, dass [mm] x^4+ [/mm] 2 irreduzibel ist. Dann wäre [mm] \delta^4=3 [/mm] Nullstelle, und mein Minpol von [mm] \delta [/mm] ist x+2. Aber müsste das minpol nicht Grad 4 haben? Da [mm] [GF(5^4):Z_5]=4 [/mm] ist?
Viele Grüße
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia
> vielen Dank erstmal für deine Antwort, nu habe ich noch
> eins, zwei Fragen...
> Du hattest geschrieben:
>
> > Um geschickter vorzugehen benoetigst du mehr Koerpertheorie
> > (es reicht naemlich zu testen, ob [mm]x^{5^2} - x[/mm] und das
> > Polynom von Grad 4 einen gemeinsamen Teiler haben: haben
> > sie keinen, so ist das Polynom irreduzibel; das darfst du
> > vermutlich aber noch nicht verwenden).
>
> Gibt es dazu einen Satz? Vielleicht dürfte ich das ja
> schon... Und wieso sollte es gerade [mm]x^{5^2}[/mm] -x sein?
Man kann dazu sicher einen Satz formulieren. Wenn dir dieses Polynom nichts sagt, werdet ihr das vermutlich nicht gehabt haben.
Die Nullstellen von [mm] $x^{5^2} [/mm] - x$ sind uebrigens gerade die Elemente aus [mm] $GF(5^2)$.
[/mm]
> Gehe also erstmal aus, dass [mm]x^4+[/mm] 2 irreduzibel ist. Dann
> wäre [mm]\delta^4=3[/mm] Nullstelle,
Nullstelle wovon? Von [mm] $x^4 [/mm] + 2$ sicher nicht, nur von $x + 2$.
> und mein Minpol von [mm]\delta[/mm] ist
> x+2. Aber müsste das minpol nicht Grad 4 haben? Da
> [mm][GF(5^4):Z_5]=4[/mm] ist?
Nein, das Minimalpolynom von [mm] $\delta$ [/mm] ist [mm] $x^4 [/mm] + 3$, weil [mm] $\delta$ [/mm] davon eine Nullstelle ist! Und [mm] $x^4 [/mm] + 3$ hat Grad 4.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mo 13.07.2009 | | Autor: | JuliaF |
Hm ich glaube jetzt bin ich irgendwie noch verwirrter. Am Besten also nochmal von vorne...
Mit welchem irreduziblen Polynom sollte ich starten? [mm] x^4 [/mm] +2 hattest du mir ja nahe gelegt. Aber über welchem Körper suche ich dafür eine Nullstelle? Eigentlich dcoh in [mm] GF(5^4)? [/mm] Denn dann kann ich die Nullstelle ja zu GF(5) adjungieren?
Ich hoffe,dass du nicht zu sehr von meinem Nichtwissen genervt bist. ;) Ich ärger mich gerade, dass ich es einfach nicht verstehe...
Viele Grüße
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Di 14.07.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Julia!
> Hm ich glaube jetzt bin ich irgendwie noch verwirrter. Am
> Besten also nochmal von vorne...
>
> Mit welchem irreduziblen Polynom sollte ich starten? [mm]x^4[/mm] +2
> hattest du mir ja nahe gelegt.
Ist denn klar, daß dieses Polynom irreduzibel ist? Ich denke, das willst du erstmal zeigen.
> Aber über welchem Körper
> suche ich dafür eine Nullstelle? Eigentlich dcoh in
> [mm]GF(5^4)?[/mm]
Nee, du willst zeigen, daß es in GF(5) keine Nullstelle hat. Das ist einfach: alle Elemente einsetzen und prüfen.
Jetzt brauchst du die irreduziblen normierten Polynome 2. Grades über GF(5). Das sind genau die, sie keine Nullstelle in GF(5) haben. Insgeamt gibt es 25 norm. Polynome, und du könntest sie durchprobieren.
Und im nächsten Schritt zeigst du, daß keines dieser Polynome das Polynom [mm] X^4 [/mm] + 2 über GF(5) teilt. Wenn das alles klappt, hast du die Irreduzibiität nachgewiesen.
> Denn dann kann ich die Nullstelle ja zu GF(5)
> adjungieren?
Dein gesuchter Körper ist dann [mm] GF(5)[X]/(X^4 [/mm] + 2).
> Ich hoffe,dass du nicht zu sehr von meinem Nichtwissen
> genervt bist. ;) Ich ärger mich gerade, dass ich es
> einfach nicht verstehe...
Das kommt schon noch, also das Verstehen...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Di 14.07.2009 | | Autor: | JuliaF |
Hallo Dieter,
schonmal DAnke für deine Antwort :)
> > Mit welchem irreduziblen Polynom sollte ich starten? [mm]x^4[/mm] +2
> > hattest du mir ja nahe gelegt.
>
> Ist denn klar, daß dieses Polynom irreduzibel ist? Ich
> denke, das willst du erstmal zeigen.
>
> > Aber über welchem Körper
> > suche ich dafür eine Nullstelle? Eigentlich dcoh in
> > [mm]GF(5^4)?[/mm]
>
> Nee, du willst zeigen, daß es in GF(5) keine Nullstelle
> hat. Das ist einfach: alle Elemente einsetzen und prüfen.
>
> Jetzt brauchst du die irreduziblen normierten Polynome 2.
> Grades über GF(5). Das sind genau die, sie keine
> Nullstelle in GF(5) haben. Insgeamt gibt es 25 norm.
> Polynome, und du könntest sie durchprobieren.
>
> Und im nächsten Schritt zeigst du, daß keines dieser
> Polynome das Polynom [mm]X^4[/mm] + 2 über GF(5) teilt. Wenn das
> alles klappt, hast du die Irreduzibiität nachgewiesen.
Bis hierhin hab ich es verstanden. :)
>
> > Denn dann kann ich die Nullstelle ja zu GF(5)
> > adjungieren?
>
> Dein gesuchter Körper ist dann [mm]GF(5)[X]/(X^4[/mm] + 2).
Ist dann [mm] x^4 [/mm] + 2 meine Nullstelle, die ich zu [mm] Z_5 [/mm] adjungiere?
Unser Dozent hat uns folgendes "Rezept" für diese Aufgabe gegeben:
Zunächst soll man ein irreduzibles Polynom vom Grad n über [mm] Z_p [/mm] suchen, dann eine Nullstelle von f adjungieren, so dass man den Quotientenkörper [mm] Z_p[x]/Z_p[x] [/mm] * f erhält.
Muss das Minimalpolynom vom [mm] \delta [/mm] dann [mm] x^4 [/mm] + 2 als Nullstelle haben? oder ist dann [mm] \delta [/mm] mit [mm] \delta [/mm] ^4 = -2 meine Nullstelle? Und [mm] GF(5^4)=GF(5)(\delta)? [/mm] So etwas ähnliches hatten wir in der Vorlesung.
Viele Grüße
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Di 14.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Dein gesuchter Körper ist dann [mm]GF(5)[X]/(X^4[/mm] + 2).
>
> Ist dann [mm]x^4[/mm] + 2 meine Nullstelle, die ich zu [mm]Z_5[/mm]
> adjungiere?
Die Nullstelle ist dann das Bild von X in diesem Restklassenring, also [mm] \overline{X} [/mm] oder X mod [mm] (X^4 [/mm] + 2), da gibt es verschiedene Schreibweisen.
> Unser Dozent hat uns folgendes "Rezept" für diese Aufgabe
> gegeben:
> Zunächst soll man ein irreduzibles Polynom vom Grad n
> über [mm]Z_p[/mm] suchen, dann eine Nullstelle von f adjungieren,
> so dass man den Quotientenkörper [mm]Z_p[x]/Z_p[x][/mm] * f
> erhält.
Das ist kein Quotientenkörper, sondern ein Restklassenring, der in diesem Falle (weil f irreduzibel) ein Körper ist. Du kannst der Nullstelle auch einen symbolischen Namen geben, z. B. a, und dann damit algebraisch herumrechnen. Dabei mußt du berücksichtigen, daß [mm] a^4 [/mm] = -2 ist. [mm] a^3*a^3 [/mm] ist also = [mm] a^6 [/mm] = [mm] -2a^2.
[/mm]
Vielleicht machst du dir das alles mal an der Einführung der komplexen Zahl i klar.
> Muss das Minimalpolynom vom [mm]\delta[/mm] dann [mm]x^4[/mm] + 2 als
> Nullstelle haben? oder ist dann [mm]\delta[/mm] mit [mm]\delta[/mm] ^4 = -2
> meine Nullstelle? Und [mm]GF(5^4)=GF(5)(\delta)?[/mm] So etwas
> ähnliches hatten wir in der Vorlesung.
Dein [mm] \delta [/mm] ist mein a.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Sa 18.07.2009 | | Autor: | JuliaF |
Hallo Dieter,
zunächst mal wieder Danke für die Antwort. Ich denke, dass ich das nun verstanden habe. Ich habe es noch mit anderen Körpern versucht und es klappt :) (Wir haben Lösungen bekommen;)
In der Übung haben wir nun, um nicht ein irreduzibles Polynom vom Grad vier zu bestimmen, zunächst die Erweiterung [mm] GF(5^2) [/mm] über GF(5) betrachtet. Hier sucht man dann einfach die Quadrate in [mm] Z_5, [/mm] das sind 0,1,4 und dann ist ja beispielsweise [mm] x^2-2 [/mm] ein irr. polynom über GF(5). Eine Nullstelle wäre [mm] \delta^2=2 [/mm] und damit ist dann ja [mm] GF(5^2)=GF(5)(\delta). [/mm] So um nun weiter zu machen muss man ja ein irreduzibles Polynom über [mm] GF(5^2) [/mm] vom Grad 2 finden. Aber wie sehen die 25 Elemente aus?
Versuch ich das mit meiner Nullstelle [mm] \delta, [/mm] weil ich weiß dass [mm] GF(5^2)=GF(5)(\delta) [/mm] ist? Dass also jedes Element die Form a + [mm] b\delta [/mm] hat ( mit a,b aus [mm] Z_5)? [/mm] Wenn ja wie sehen die Polynome darüber aus?
Obwohl, bei [mm] a+b\delta [/mm] hätte ich ja genau 25 Elemente und die Polynome wären dann z.b. [mm] (1+2\delta)x^2 [/mm] - [mm] 2+\delta [/mm] ? Vorher müsste ich dann wohl noch die Quadrate bestimmen, um dann zu gucken, ob es ne Nullstelle hat :) Wenn das so ist, hab ich es verstanden;)
Viele Grüße
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Mo 20.07.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Julia!
> zunächst mal wieder Danke für die Antwort. Ich denke,
> dass ich das nun verstanden habe. Ich habe es noch mit
> anderen Körpern versucht und es klappt :) (Wir haben
> Lösungen bekommen;)
> In der Übung haben wir nun, um nicht ein irreduzibles
> Polynom vom Grad vier zu bestimmen, zunächst die
> Erweiterung [mm]GF(5^2)[/mm] über GF(5) betrachtet. Hier sucht man
> dann einfach die Quadrate in [mm]Z_5,[/mm] das sind 0,1,4 und dann
> ist ja beispielsweise [mm]x^2-2[/mm] ein irr. polynom über GF(5).
> Eine Nullstelle wäre [mm]\delta^2=2[/mm] und damit ist dann ja
> [mm]GF(5^2)=GF(5)(\delta).[/mm] So um nun weiter zu machen muss man
> ja ein irreduzibles Polynom über [mm]GF(5^2)[/mm] vom Grad 2
> finden. Aber wie sehen die 25 Elemente aus?
> Versuch ich das mit meiner Nullstelle [mm]\delta,[/mm] weil ich
> weiß dass [mm]GF(5^2)=GF(5)(\delta)[/mm] ist? Dass also jedes
> Element die Form a + [mm]b\delta[/mm] hat ( mit a,b aus [mm]Z_5)?[/mm] Wenn
> ja wie sehen die Polynome darüber aus?
> Obwohl, bei [mm]a+b\delta[/mm] hätte ich ja genau 25 Elemente und
> die Polynome wären dann z.b. [mm](1+2\delta)x^2[/mm] - [mm]2+\delta[/mm] ?
Allgemein hätten die Polynome auch noch ein lineares Glied. Andererseits kannst du dich auf die normierten beschränken, also mit [mm] x^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] anfangen.
> Vorher müsste ich dann wohl noch die Quadrate bestimmen,
> um dann zu gucken, ob es ne Nullstelle hat :) Wenn das so
> ist, hab ich es verstanden;)
Genau. Wenn du ein irreduzibles suchst, kannst du das so machen: erst ein Nicht-Quadrat b in GF(25) suchen und dann [mm] x^2 [/mm] - b nehmen.
Du hast dann deine Körpererweiterung vom Grad 4 in 2 Happen aufgebaut. Wenn die Nullstelle von [mm] x^2 [/mm] - b [mm] \beta [/mm] heißt, könntest du zur Übung und zum Spaß mal das MP von [mm] \beta [/mm] (und vielleicht auch von $1 + [mm] \beta$) [/mm] über GF(5) bestimmen.
Ich habe den Eindruck, daß dir das jetzt klar ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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