kongruente Matrizen,Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
2 Matrizen A,B in [mm] K^{n}_{n} [/mm] heißen kongruent (in Zeichen A [mm] \cong [/mm] B), falls
gilt:
[mm] \exists [/mm] C [mm] \in [/mm] Gl(n,K) : B = [mm] C^{t}*A*C
[/mm]
Warum wird dann gleich anschließend behauptet:
Für Basen B,B' von V und sigma in Bil(V,V) sind also [mm] A_{sigma;B,B} [/mm] und
[mm] A_{sigma;B',B'} [/mm] kongruent. Wieso?
Dann stört mich noch etwas:
Kann man für sigma in Bil(V,V) stets eine gute Basis B finden, sodass [mm] A_{sigma;B,B} [/mm] eine Diagonalmatrix ist?
Ich weiß die Antwort aber ich kapier dass mit den Basen noch nicht so ganz.
Bil(V,V) ist ja ein Unterraum von der Abbildung: VxV -> K, deshalb kann es Basen geben. Wieso brauche ich dann eine Basis um eine Matrix in eine andere überzuführen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
> Hallo
> 2 Matrizen A,B in [mm]K^{n}_{n}[/mm] heißen kongruent (in Zeichen A
> [mm]\cong[/mm] B), falls
> gilt:
> [mm]\exists[/mm] C [mm]\in[/mm] Gl(n,K) : B = [mm]C^{t}*A*C[/mm]
>
> Warum wird dann gleich anschließend behauptet:
> Für Basen B,B' von V und sigma in Bil(V,V) sind also
> [mm]A_{sigma;B,B}[/mm] und
> [mm]A_{sigma;B',B'}[/mm] kongruent. Wieso?
Weil du für $C$ in diesem Fall einfach die Basiswechselmatrix wählen kannst. Es gilt ja:
[mm] $A_{\sigma;B;B} [/mm] = [mm] \left(M^{B'}_B(id)\right)^t \cdot A_{\sigma;B';B'} \cdot M^{B'}_B(id)$.
[/mm]
> Dann stört mich noch etwas:
> Kann man für sigma in Bil(V,V) stets eine gute Basis B
> finden, sodass [mm]A_{sigma;B,B}[/mm] eine Diagonalmatrix ist?
Ja, das ist der sogenannte Orthogonalisierungssatz für symmetrische Bilinearformen. Man kann ihn mit vollständiger Induktion nach der Dimension des zugrundeliegenden Vektorraums führen.
> Ich weiß die Antwort aber ich kapier dass mit den Basen
> noch nicht so ganz.
> Bil(V,V) ist ja ein Unterraum von der Abbildung: VxV -> K,
> deshalb kann es Basen geben. Wieso brauche ich dann eine
> Basis um eine Matrix in eine andere überzuführen?
Das habe ich dir schon einmal erklärt. Ist [mm] $\sigma:V \times [/mm] V [mm] \ti [/mm] K$ eine bilineare Abbildung, dass gibt es zu jeder Basis [mm] ${\cal B}$ [/mm] von $V$ eine Strukturmatrix (Gramsche Matrix)
[mm] $A_{\sigma;{\cal B}}$
[/mm]
mit
[mm] $\sigma(v,w) [/mm] = [mm] (v_{\cal B})^t \cdot A_{\sigma;{\cal B}} \cdot w_{\cal B}$,
[/mm]
wobei [mm] $v_{\cal B}$ [/mm] und [mm] $w_{\cal B}$ [/mm] die Koordinatenvektoren von $v$ und $w$ zur Basis [mm] ${\cal B}$ [/mm] sind.
Viele Grüße
Stefan
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