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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | $R>0$, [mm] $a,b\in D_R(0)$ [/mm] und $f$ holomorph in einer Umgebung von [mm] $D_R(0)$. [/mm] Berechne
[mm] $\int_{\partial D_R(0)}\frac{f(z)}{(z-a)(z-b)}\,dz$ [/mm] |
Hallo an alle,
könnte mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Was brauche ich um diese Aufgabe zu lösen? Vielleicht die Cauchysche Integralformel? Aber wie? Ich bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
i) Betrachten wir für einen Augenblich $f(z)=1$. Um dieses Kurvenintegral zu berechnen, müssen wir eine Partialbruchzerlegung vornehmen, d.h.
[mm] $\frac{1}{(z-a)(z-b)}=\frac{\frac{1}{a-b}}{z-a}+\frac{\frac{1}{b-a}}{z-b}$
[/mm]
Wenden wir auf beide resultierenden Integrale die Cauchysche Integralformel an, so erhalten wir 0.
ii) Betrachten wir wieder den allgemeinen Fall: Da $f$ holomorph in einer Umgebung von [mm] $U_R(0)$ [/mm] ist, können wir $f$ in [mm] $\overline{U_R(0)}$ [/mm] (also lokal) in eine Potenzreihe (mit Entwicklungspunkt 0) entwickeln, d.h.
[mm] $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
[/mm]
Ensetzen ergibt:
[mm] $\int_{\partial D_R(0)}\frac{f(z)}{(z-a)(z-b)}\,dz=\int_{\partial D_R(0)}\frac{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n}{(z-a)(z-b)}\,dz=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{\partial D_R(0)}\frac{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n}{(z-a)(z-b)}\,dz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\int_{\partial D_R(0)}\frac{z^n}{(z-a)(z-b)}\,dz$
[/mm]
Aber wie soll ich hier weiter vorgehen? Ist der Ansatz überhaupt richtig? Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:20 Di 05.05.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]R>0[/mm], [mm]a,b\in D_R(0)[/mm] und [mm]f[/mm] holomorph in einer Umgebung von
> [mm]D_R(0)[/mm]. Berechne
>
> [mm]\int_{\partial D_R(0)}\frac{f(z)}{(z-a)(z-b)}\,dz[/mm]
> Hallo an
> alle,
>
> könnte mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Was
> brauche ich um diese Aufgabe zu lösen? Vielleicht die
> Cauchysche Integralformel? Aber wie? Ich bin für jeden Tipp
> sehr dankbar.
Du hast in deinem zwiten Post doch schon die Partialbruchzerlegung macht. Setze sie in das obige Integral ein und wende die Cauchysche Integralformel an!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Di 05.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
> Du hast in deinem zwiten Post doch schon die
> Partialbruchzerlegung macht. Setze sie in das obige
> Integral ein und wende die Cauchysche Integralformel an!
>
> Viele Grüße
> Rainer
Au weia, Du moechtest gar nicht wissen, was ich versucht habe. Jetzt hat es dann schliesslich doch geklappt. Danke nochmal.
Gruss Denny
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