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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 So 25.11.2007 | | Autor: | sie-nuss |
| Aufgabe | Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Folge
[mm] z_{n}=\bruch{i^n}{1+in} [/mm] |
Hallo allerseits, ich sitze heute schon recht lange an dieser Aufgabe, ich glaube eigentlich sollte sie ganz einfach sein, aber ich steh vor ner Wand :(
Man muss glaube ich auch irgendwie den Betrag betrachten, aber so genau weiß ich nicht was ich tun soll.
Außerdem wird doch "i" je nach Potenz anders... also entweder 1,i,-1 oder -i.
Der Nenner geht aber gegen unendlich, also konvergiert die Folge gegen 0 (??)
Also wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar :)
Liebe Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Folge
> [mm]z_{n}=\bruch{i^n}{1+in}[/mm]
> Hallo allerseits, ich sitze heute schon recht lange an
> dieser Aufgabe, ich glaube eigentlich sollte sie ganz
> einfach sein, aber ich steh vor ner Wand :(
>
> Man muss glaube ich auch irgendwie den Betrag betrachten,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber so genau weiß ich nicht was ich tun soll.
Einfach ausrechnen natürlich:
[mm]|z_n|=\left|\frac{\mathrm{i}^n}{1+\mathrm{i}n}\right|=\frac{\left|\mathrm{i}^n\right|}{\left|1+\mathrm{i}n\right|}=\frac{|\mathrm{i}|^n}{\sqrt{\mathrm{Re}(1+\mathrm{i}n)^2+\mathrm{Im}(1+\mathrm{i}n)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+n^2}}[/mm]
Der letzte Term in dieser Umformungskette geht offenbar gegen $0$ für [mm] $n\rightarrow \infty$. [/mm] Also konvergieren die Beträge der [mm] $z_n$ [/mm] und damit die [mm] $z_n$ [/mm] selbst gegen $0$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 26.11.2007 | | Autor: | sie-nuss |
Hallo somebody!
Also ich hatte mir weiter überlegt, dass ich einfach mal behaupte [mm] z_{n} [/mm] konvergiere gegen 0 und dann habe ich das so bewiesen:
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] dann [mm] \exists n_{0} [/mm] mit
[mm] \left|\frac{\mathrm{i}^n}{1+\mathrm{i}n}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
Setze [mm] n_{0}>\bruch{1}{\varepsilon} \Rightarrow \bruch{1}{n_{0}}<\varepsilon
[/mm]
Also:
[mm] \left|\frac{\mathrm{i}^n}{1+\mathrm{i}n}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+n^2}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n_{0}} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
da [mm] \wurzel{n^2+1}>n
[/mm]
Geht das so auch? Weil ich weiß doch nicht unbedingt dass die Folge [mm] z_{n} [/mm] konvergiert, nur weil die Folge ihrer Beträge konvergiert, oder doch?
Vielen, vielen Dank!
sie-nuss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mo 26.11.2007 | | Autor: | sie-nuss |
...also warum steht da jetzt Reaktion unnötig? Ich halte eine Reaktion für nötig ;)
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> Hallo somebody!
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> Also ich hatte mir weiter überlegt, dass ich einfach mal
> behaupte [mm]z_{n}[/mm] konvergiere gegen 0
Ein solches Vorgehen ist zwar im Prinzip möglich - befriedigt mich persönlich aber nicht so recht: denn ich möchte jeweils gerne wissen, auf welchem Wege jemand auf diesen "eigenartigen" Gedanken gekommen sein könnte...
> und dann habe ich das so
> bewiesen:
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] dann [mm]\exists n_{0}[/mm] mit
>
> [mm]\left|\frac{\mathrm{i}^n}{1+\mathrm{i}n}\right|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_{0}[/mm]
>
> Setze [mm]n_{0}>\bruch{1}{\varepsilon} \Rightarrow \bruch{1}{n_{0}}<\varepsilon[/mm]
>
> Also:
> [mm]\left|\frac{\mathrm{i}^n}{1+\mathrm{i}n}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+n^2}}[/mm]
> < [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n_{0}}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> da [mm]\wurzel{n^2+1}>n[/mm]
>
> Geht das so auch?
Ja, das ist ok.
> Weil ich weiß doch nicht unbedingt dass
> die Folge [mm]z_{n}[/mm] konvergiert, nur weil die Folge ihrer
> Beträge konvergiert, oder doch?
Wenn man schon weiss, dass die Beträge gegen 0 konvergieren, dann ist es in der Tat so, dass dann auch die Folge selbst gegen 0 konvergiert. - Weshalb? - Weil, aus [mm] $|z_n|<\varepsilon$, [/mm] für alle [mm] $n>n_0$, [/mm] folgt, dass auch [mm] $|z_n-0|<\varepsilon$, [/mm] für alle [mm] $n>n_0$.
[/mm]
Wüsste man aber nur, dass die Beträge gegen, sagen wir, $2$ konvergieren, könnte man aus dieser Konvergenz der Beträge noch nicht auf Konvergenz schliessen.
So konvergiert ja die Folge [mm] $z_n=\mathrm{i}^n$, [/mm] nicht, obwohl deren Beträge bestens konvergieren, sogar konstant $1$ sind...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Di 27.11.2007 | | Autor: | sie-nuss |
Achso!!! Toll, vielen Dank. Jetzt ist mir einiges klarer :)
Danke für die Hilfe!
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