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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Do 04.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Zwei Lösungen von [mm] z^3-(5-3i)z^2+(11-4i)z-7+i=0
[/mm]
sind z=1 und z=1+i . Berechnen Sie die Übringe(n) |
Hallo,
sitze grade an dieser Aufgabe fest!
[mm] z^3-(5-3i)z^2+(11-4i)z-7+i=0
[/mm]
<=> [mm] z^3-5z^2+3iz^2+11z-4iz-7+i=0
[/mm]
Dann weiß man ja, dass z=1 und z=1+i Lösungen sind
die hab ich dann so umgeschrieben in z-1 und z-(1+i) wegen [mm] p(z)=(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_n)
[/mm]
(z-1)((z-(1+i))= [mm] z^2-2z+zi-i+1
[/mm]
damit hab ich dann polynomdivision machen wollen aber komm da nicht ganz weit mit:
[mm] (z^3-5z^2+3iz^2+11z-4iz-7+i):(z^2-2z+zi-i+1)= [/mm] z-3+5i
[mm] -(z^3-2z^2+z^2i-zi+z)
[/mm]
[mm] -3z^2+2iz^2-3iz+10z-7+i
[/mm]
[mm] -(-3z^2 [/mm] +6z-3zi+3i-3)
[mm] 5iz^2+4z-2i+4
[/mm]
[mm] -(5iz^2-10zi-5z+5+5i)
[/mm]
....
ist der ansatz davon eig richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Do 04.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Man kann ganz "ökonomisch" vorgehen:
Es ist $(z-1)(z-(1+i))= [mm] z^2-(2+i)z+(1+i)$
[/mm]
Nennen wir die dritte (gesuchte) Lösung mal [mm] z_0. [/mm] Dann muß gelten:
(*) [mm] $(z^2-(2+i)z+(1+i))*(z-z_0)= z^3-(5-3i)z^2+(11-4i)z-7+i$
[/mm]
Nun müssen wir uns nur um die Absolutglieder (also die Glieder ohne z) links und rechts in (*) kümmern !
Das Absolutglied links = [mm] $-(1+i)z_0$ [/mm] und das Absolutglied rechts = $-7+i$
Dann ist also [mm] z_0 [/mm] = ???
FRED
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Hallo, du kommst natürlich auch mit deiner Methode zur Lösung 3-4i, wenn dir nicht ein Fehler unterlaufen wäre beim Auflösen der Klammer
z-(1+i)=z-1-i
dann bekommst du bei
[mm] (z-1)*(z-1-i)=z^{2}-2z [/mm] - zi + i+1
Steffi
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