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komplex differenzierbar: holomorph Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 So 02.10.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Wo sind folgende Funktionen komplex differenzierter? Wo sind sie holomorph?

a) $f(x,y)= xy+x+ixy$

b) [mm] $f(x,y)=y^{2}sin(x)+iy$ [/mm]

Hallo!


Es ist $f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)$ und [mm] $u_{x} [/mm] = [mm] \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}$ [/mm] bzw. [mm] $v_{x} [/mm] = [mm] \frac{\partial v(x,y)}{\partial x}$ [/mm]

a)  $ f(x,y)= f(x+iy)= xy+x+ixy$

Für die komplexe differenzierbarkeit muss gelten die CauchyRiemann DGL:
    
     $(1): [mm] u_{x} [/mm] = y+1  = x  = [mm] v_{y}$ [/mm]
    
     $(2): [mm] u_{y}= [/mm] x = -y = [mm] -v_{x}$ [/mm]

setzt man (2) in (1) ein ergibt sich $1=0$ , also ist f(x,y) nirgends komplex differenzierbar und damit auch nirgends holomorph.




b)  [mm] $f(x,y)=y^{2}sin(x)+iy$ [/mm]

    
Cauchy Riemann DGL:
     $(1): [mm] u_{x} [/mm] = [mm] y^{2}cos(x) [/mm] =  1 = [mm] v_{y}$ [/mm]
     $(2): [mm] u_{y} [/mm] = 2y sin (x) = 0 = [mm] -v_{x}$ [/mm]


Die Bedingungsgleichungen werden erfüllt für $(0,1)$ und $(0,-1)$, also ist f(x,y) dort komplex differenzierbar, aber da es kein zusammenhängendes offenes Gebiet ist, nicht holomorph.




Stimmt das so?


Danke für jegliche Hilfestellung!



Gruss
kushkush

        
Bezug
komplex differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 02.10.2011
Autor: wauwau

im prinzip hast du mit deiner Methode recht, nur ist leider die letzte Schlussfolgerung von Pt 1 falsch (einfach falsch eingesetzt!)

Bezug
                
Bezug
komplex differenzierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:30 So 02.10.2011
Autor: kushkush

Hallo wauwau,


> pt 1


Es ist $f(x,y)= xy+x+ixy$

CauRieDGL:

           $(1): [mm] u_{x} [/mm] = y+1 = x = [mm] v_{y}$ [/mm]
           $(2): [mm] u_{y}= [/mm] x = -y = [mm] -v_{x}$ [/mm]

         $(2) [mm] \rightarrow [/mm] (1) :  [mm] y=-\frac{1}{2} \gdw x=\frac{1}{2}$ [/mm]

also nur in einem Punkt [mm] (\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) [/mm] komplex dfbr. aber nicht holomorph.



> wauwau

Vielen Dank!!!



Gruss
kushkush

Bezug
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