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kompl. Aufgabe: Musterlösung und Einwände
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 Sa 22.01.2011
Autor: Leidi

Aufgabe
Gibt es eine Gerade h*, welche in der Ebene H liegt und durch den gemeinsamen Schnittpunkt aller Geraden h(a) geht, aber nicht zur Schar der Geraden h(a) gehört? Falls ja, gib die Geradenvorschrift für h* an.
h(a) : x = [mm] \vektor{2 \\8 \\ -5} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{a \\1 \\ 2} [/mm]
H: 2y - z - 21 = 0

Die Musterlösung des Lehrers kommt zu dem Ergebnis, dass es keine solche Gerade h* gibt. Ich glaube aber, eine solche Gerade gefunden zu haben in
m: x = [mm] \vektor{2 \\ 8 \\ -2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Bei den folgenden Zwischenergebnissen decken sich unsere Ergebniss noch:
S(2|8|-2) ist der Schnittpunkt aller Geraden aus h(a).
Für den Richtungsvektor von h* muss gelten [mm] \vektor{x \\ y \\ 2y}, [/mm] da er senkrecht zum Normalenvektor der Ebene H ist.
Da h* S enthält, kann man die Gerade wie folgt darstellen:
[mm] \vektor{2 \\ 8 \\ -2} [/mm]  + [mm] \lambda [/mm] *  [mm] \vektor{x \\ y \\ 2y} [/mm]

Nun unterscheiden sich unsere Lösungen:
Der Lehrer vergleicht die beiden Geraden h* und h(a) und kommt zu dem Ergebnis, sie stimmen überein (also h* ist immer eine Gerade der Schar h(a)). Er begründet dies mit der beispielhaften Wahl von [mm] \lambda= \bruch{\mu}{y} [/mm] und x= y * a.

Mein Einwand:
Eine solche Wahl von x, also eine Abhängigkeit von x vom Scharparameter, wiederspricht doch dem Gedanken, dass die beiden Geraden(scharen) für ALLE x gleich sind.
Stellt man x = y * a nach a um (Fragestellung: "Gibt es für jede Gerade h* ein a, sodass h* und h(a) identisch sind?"), dann steht y im Nenner. Somit ist für y=0 kein a definiert (und man erhält beispielsweise meine oben genannte Gerade m).

Danke für's Lesen!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
kompl. Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Sa 22.01.2011
Autor: Zwerglein

Hi, Leidi,

> Gibt es eine Gerade h*, welche in der Ebene H liegt und
> durch den gemeinsamen Schnittpunkt aller Geraden h(a) geht,
> aber nicht zur Schar der Geraden h(a) gehört? Falls ja,
> gib die Geradenvorschrift für h* an.
> h(a) : x = [mm]\vektor{2 \\ 8 \\ -5}[/mm] + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vektor{a \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> H: 2y - z - 21 = 0
> Die Musterlösung des Lehrers kommt zu dem Ergebnis, dass
> es keine solche Gerade h* gibt. Ich glaube aber, eine
> solche Gerade gefunden zu haben in
> m: x = [mm]\vektor{2 \\ 8 \\ -2}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]

Die 3. Koordinate des Aufpunktes muss wohl -5 sein!

> Bei den folgenden Zwischenergebnissen decken sich unsere
> Ergebniss noch:
> S(2|8|-2) ist der Schnittpunkt aller Geraden aus h(a).

wie oben!

> Für den Richtungsvektor von h* muss gelten [mm]\vektor{x \\ y \\ 2y},[/mm]
> da er senkrecht zum Normalenvektor der Ebene H ist.
> Da h* S enthält, kann man die Gerade wie folgt
> darstellen:
> [mm]\vektor{2 \\ 8 \\ -2}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y \\ 2y}[/mm]

Und nochmals!

> Nun unterscheiden sich unsere Lösungen:
> Der Lehrer vergleicht die beiden Geraden h* und h(a) und
> kommt zu dem Ergebnis, sie stimmen überein (also h* ist
> immer eine Gerade der Schar h(a)). Er begründet dies mit
> der beispielhaften Wahl von [mm]\lambda= \bruch{\mu}{y}[/mm] und x=
> y * a.
>
> Mein Einwand:
> Eine solche Wahl von x, also eine Abhängigkeit von x vom
> Scharparameter, wiederspricht doch dem Gedanken, dass die
> beiden Geraden(scharen) für ALLE x gleich sind.
> Stellt man x = y * a nach a um (Fragestellung: "Gibt es
> für jede Gerade h* ein a, sodass h* und h(a) identisch
> sind?"), dann steht y im Nenner. Somit ist für y=0 kein a
> definiert (und man erhält beispielsweise meine oben
> genannte Gerade m).

M.E. hast Du Recht: Die Gerade m gehört NICHT zur Geradenschar h(a)!


mfG!
Zwerglein


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