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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Do 29.03.2007 | | Autor: | dena |
| Aufgabe | Sei
[mm] K(\IR) [/mm] = { [mm] f:\IR \to \IK: [/mm] f stetig, supp(f) := [mm] \overline{\{ t: f(t)\not= 0 }\} [/mm] kompakt }
der Vektorraum aller stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Dann ist [mm] K(\IR) [/mm] dicht in [mm] L^{p}(\IR) [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty [/mm] |
Hallo Leute!
Habe zu dieser Aufgabe einen Lösungsvorschlag:
Ich verwende (nach Dirk Werner), dass C[a,b] [mm] \subseteq L^{p}[a,b] [/mm] dicht für a,b [mm] \in \IR, [/mm] a < b. Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Ist f [mm] \in L^{p}[\IR], [/mm] so gibt es ein R > 0 mit
[mm] \integral_{\IR \setminus [-R,R] }{|f |^{p}d\lambda} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon^{p}}{3^{p}} [/mm]
Zu [mm] f|_{ [-R,R]} [/mm] gibt es ein g* [mm] \in [/mm] C[-R,R] mit [mm] \parallel [/mm] f-g* [mm] \parallel _{L^{p}[-R,R]} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{3}.
[/mm]
Wir betrachten die Abbildungen [mm] h_{n}: [/mm] [-R,R] [mm] \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] min(n(R-|t|),1).
Damit : [mm] |h_{n} [/mm] g*| [mm] \le [/mm] | g*| und [mm] h_{n} [/mm] g* [mm] \mapsto [/mm] g* auf ]-R, R[ für n [mm] \mapsto \infty.
[/mm]
Wegen Satz von Lebesque: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel h_{n} [/mm] g*- g* [mm] \parallel _{L^{p}[-R,R]} [/mm] = 0,
also: [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \parallel h_{n} [/mm] g*- g* [mm] \parallel _{L^{p}[-R,R]} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{3}.
[/mm]
Sei nun g: [mm] \IR \to \IR [/mm] durch [mm] g|_{[-R,R]} [/mm] = [mm] h_{n} [/mm] g* und g(t) = 0 sonst definert.
Dann: g [mm] \in K(\IR) [/mm] mit supp(g) [mm] \subseteq [/mm] [-R, R] und
[mm] \parallel [/mm] f - g [mm] \parallel_{p} \le (\integral_{\IR \setminus [-R,R] }{|f - g |^{p}d\lambda})^\bruch{1}{p} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] f - g* [mm] \parallel _{L^{p}[-R,R]} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] g* - g [mm] \parallel _{L^{p}[-R,R]} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Passt das so oder hab ich etwas übersehen?
Vielen lieben Dank!
kalinka
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Hallo kalinka,
fuer mich sieht das ganz gut aus. Nach meinem Geschmack solltest du allerdings noch begruenden, warum $g$ stetig ist. Das ist bei genauerem hinsehen zwar klar, aber trotzdem.
Gruss, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Do 29.03.2007 | | Autor: | dena |
Hallo banachella!
Vielen Dank, werd ich machen!
lg
kalinka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Mi 09.05.2007 | | Autor: | dena |
hallo!
habe schwierigkeiten zu zeigen, dass g stetig ist.. kann mir jemand helfen?
danke!
dena
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:32 Mi 09.05.2007 | | Autor: | dena |
Meine Idee:
g* ist ja aus C[-R,R] (= Raum der stetigen Funktionen) und [mm] h_{n} [/mm] ist eine Konstante, somit ist g stetig!
ist meine Argumentation richtig?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 12.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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